Exprimer a, b et c ...

[Lostounet]

Bonjour,

Comment peut-on exprimer a, b, et c en fonction des trois nombres suivants?





ça ressemble à des relations "coefficient racine"...

Modif: Je devrais peut-être résoudre un système... En faisant intervenir un trinome en b^2 par exemple. Je vais voir.

Modif2: C'est pas marrant le système finalement. Des méthodes élégantes?

[Doraki]

ça ressemble à des relations "coefficient racine"...

tu peux préciser ta pensée ?

[t.itou29]

Salut,
C'est vraiment possible ?
En partant des relations suivantes:



ça permet de trouver une polynome de degré 3 dont les coeffs sont en fonction de P,Q,R et les racines a,b,c mais après ça avance pas à grand chose...

[Lostounet]

Par exemple, si je simplifie le problème à deux variables:
a + b = U
a^2 + b^2 = V

Je peux écrire (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = V + 2ab

Donc
(U^2 - V)/2 = ab et (a + b) = U

Coefficient racine...? Mais ça reste immonde.

Oui t.itou, j'avais trouvé des choses du genre mais c'est un peu horrible comme polynôme de degré 3.

[zygomatique]

salut

c'est tout le pb de ces relations théoriques entre coefficients et racines .... elles ne restent que théoriques dans la plupart des cas ...

par substitution on exprime c en fonction de a, b et R

puis à nouveau par substitution on exprime b en fonction de a ( deux possibilités de plus puisque b est au carré)

puis on tombe sur une équation de degré 3 en a ....


maintenant pour certaines valeurs particulières de P, Q et R on arrive à trouver (parfois dans la douleur) a, b et c ...

:lol3:

[Lostounet]

Ok ! Merci :)

Maintenant il faut que je montre que les solutions de cette équation de degré 3 sont toutes réelles... Je pense que c'est pas vraiment la bonne stratégie pour mon exo :p

En fait, il est supposé que a, b et c sont des complexes n'ayant pas le même module, et que P, Q et R sont réels et il faut montrer que a, b et c sont réels. C'est pour ça que j'ai voulu avoir une expression explicite de a, b et c en fonction des réels P, Q et R ...

[zygomatique]

alors peut-être une idée ...

un polynome à coefficients réels qui admet une racine complexe (non réelle) admet aussi son conjugué comme racine

or deux nombres conjugués ont même module ... ce qui contredit l'hypothèse des modules distincts ....

reste à montrer que "le" polynome dont a, b et c sont racines est à coefficients réels ...

:lol3:

[Matt_01]

Salut,
C'est vraiment possible ?
En partant des relations suivantes:



ça permet de trouver une polynome de degré 3 dont les coeffs sont en fonction de P,Q,R et les racines a,b,c mais après ça avance pas à grand chose...

Ces relations te donnent directement abc, ab + bc + ac et a+b+c réels, donc des informations concernant le poly (X-a)(X-b)(X-c).

[Ben314]

Salut,
Normalement, il y a quand même une partie "bien classique" à connaitre (ou à savoir retrouver) concernant les liens qu'il y a entre les "Sommes de Newton" (c'est comme ça que ça s'appelle tes truc P,Q et R) et les polynômes symétriques élémentaires (qui sont les coeffs. du polynôme dont tes 3 nombres sont les racines) qui sont (rappel) :


Tu peut
- Soit rechercher par toi même ces lien (petit exercice intéressant pour mettre en pratique la méthode qui permet de montrer que tout polynôme symétrique s'exprime à l'aide des symétriques élémentaires)
- Soit faire "la feignasse de base" et regarder sur Wiki : Identités de Newton

[Lostounet]

alors peut-être une idée ...

un polynome à coefficients réels qui admet une racine complexe (non réelle) admet aussi son conjugué comme racine

or deux nombres conjugués ont même module ... ce qui contredit l'hypothèse des modules distincts ....

reste à montrer que "le" polynome dont a, b et c sont racines est à coefficients réels ...

:lol3:

Euh ça va pour les coefficients, ils sont réels par hypothèse. Le polynome de degré 3 admet trois racines...dont 2 sont conjuguées? c'est ça que tu veux dire?

Edit: tu parles de (x-a)(x-b)(x-c)?

[Ben314]

En fait, il est supposé que a, b et c sont des complexes n'ayant pas le même module, et que P, Q et R sont réels et il faut montrer que a, b et c sont réels. C'est pour ça que j'ai voulu avoir une expression explicite de a, b et c en fonction des réels P, Q et R ...

Vu qu'un polynôme de degré 3 à coeff. réel a
- Soit trois racines réelles.
- Soit une racine réelle et deux racines complexes conjuguées donc de même module.
tu n'as besoin de... rien... (à part bien sûr le fait que a,b,c sont racines d'un poly à coeff réels bien sur) pour conclure.

EDIT : j'avais (évidement pas tout lu) et... c'est exactement la même chose que ce que dit zygomatique...

[alphamethyste]

Comment peut-on exprimer a, b, et c en fonction des trois nombres suivants?





ça ressemble à des relations "coefficient racine"...

pas trop en fait

Salut,
Normalement, il y a quand même une partie "bien classique" à connaitre (ou à savoir retrouver) concernant les liens qu'il y a entre les "Sommes de Newton" (c'est comme ça que ça s'appelle tes truc P,Q et R) et les polynômes symétriques élémentaires (qui sont les coeffs. du polynôme dont tes 3 nombres sont les racines) qui sont (rappel) :

justement il est trompeur de penser à des equations poly de degré trois

mais plutôt il faut penser à celles de degré 4

parce ce que cela proviens des sommes de Newton (comme tu le dit et qu'au final il faudra passer par la résolution d'equation poly du quatrieme degré

en effet

avec
avec est pair
avec est impair

avec
avec est pair
avec est impair

avec
avec est pair
avec est impair

avec
avec est pair
avec est impair

avec
avec est pair
avec est impair

avec
avec est pair
avec est impair

avec
avec est pair
avec est impair


avec

avec est pair

avec est impair


avec

avec est pair

avec est impair


avec

avec est pair

avec est impair

les formulations générales


avec n pair
avec n impair



avec pour lorsque a est pair
avec pour lorsque a est impair

avec
et sont les coefficients de Bernouilli

lorsque n est pair et a est pair



lorsque n est pair et a est impair



lorsque n est impair et a est pair



lorsque n est impair et a est impair

[mathelot]

bonjour,

avec ces données, on peut

- calculer les fonctions symétriques des racines
- écrire le polynôme de degré 3 développé
- utiliser la théorie de Cardan avec
le discriminant , cette théorie indique sous quelles conditions les trois racines du polynôme de degré trois, sont réelles.

Les 3 racines sont réelles si (et seulement si?)

[alphamethyste]

... sous quelles conditions les trois racines du polynôme sont réelles

sauf que là pour le coup on doit travailler sur un systeme d'equation du quatrieme degré

(comme je viens de le dire c'est trompeur de penser ce que tu dit justement)

[Ben314]

sauf que là pour le coup on doit travailler sur un systeme d'equation du quatrieme degré

(comme je viens de le dire c'est trompeur de penser ce que tu dit justement)

Non, c'est évidement de degré 3 (tu as 3 inconnues et je voudrais bien savoir qui pourrait bien être la prétendue 4em racine)
Et tout ce que tu raconte dans ton post à ralonge n'a rien à voir avec le problème vu que tu ne considère que des cas extrêmement particulier des sommes a+b+c, a²+b²+c², a^3+b^3+c^3, à savoir celles où a,b,c sont des entiers successifs alors qu'ici, à priori, ce sont des complexes quelconques.

... utiliser la théorie de Cardan avec
le discriminant , cette théorie indique sous quelles conditions les trois racines du polynôme de degré trois, sont réelles.

Non, ici, ça ne donnera rien d'utile : si on n'avais pas l'hypothèse extrêmement restrictive "...n'ayant pas le même module" on ne pourrait rien conclure.
Par exemple, a=1, b=j, c=j² donnent bien P,Q,R réels et ce qui "élimine" cette solution, c'est que j et j² ont même module, et ça n'a rien à voir avec le discriminant du polynôme de 3em degré.

[Ben314]

sauf que là pour le coup on doit travailler sur un systeme d'equation du quatrieme degré

(comme je viens de le dire c'est trompeur de penser ce que tu dit justement)

Non, c'est évidement de degré 3 (tu as 3 inconnues et je voudrais bien savoir qui pourrait bien être la prétendue 4em racine)
Et tout ce que tu raconte dans ton post à ralonge n'a rien à voir avec le problème vu que tu ne considère que des cas extrêmement particulier de sommes a+b+c, a²+b²+c², a^3+b^3+c^3, où a,b,c (donc P,Q,R) sont des entiers alors qu'ici, P,Q,R sont des réels quelconques et, à priori, a,b,c sont des nombres complexes donc ça n'a aucun rapport avec de l'arithmétique sur Z.

... utiliser la théorie de Cardan avec
le discriminant , cette théorie indique sous quelles conditions les trois racines du polynôme de degré trois, sont réelles.

Non, ici, ça ne donnera rien d'utile : si on n'avais pas l'hypothèse extrêmement restrictive "...n'ayant pas le même module" on ne pourrait rien conclure.
Par exemple, a=1, b=j, c=j² donnent bien P,Q,R réels et ce qui "élimine" cette solution, c'est que j et j² ont même module, et ça n'a rien à voir avec le discriminant du polynôme de 3em degré.

[alphamethyste]

Non, c'est évidement de degré 3 (tu as 3 inconnues et je voudrais bien savoir qui pourrait bien être la prétendue 4em racine)
Et tout ce que tu raconte dans ton post à ralonge n'a rien à voir avec le problème vu que tu ne considère que des cas extrêmement particulier de sommes a+b+c, a²+b²+c², a^3+b^3+c^3, où a,b,c (donc P,Q,R) sont des entiers alors qu'ici, P,Q,R sont des réels quelconques et, à priori, a,b,c sont des nombres complexes donc ça n'a aucun rapport avec de l'arithmétique sur Z.

ah oui tu est sûr de toi là ? eh bien écoute le problème se résume à construire trois equations du quatrieme degré avec les differences a-b et b-c sur la somme de Newton equation de degré 4 avec et du coup ce qui nous interesse ce ne sont pas les quatres racines d'une equation du quatrieme degré mais le fait de construire ces trois equations là et de les exploiter

ensuite effectivement a,b,c ne sont pas forcéments naturels eh bien tu vois là c'est toute l'astuce
car justement entre deux entiers ilexiste des nombres rationnels et irrationnels mais on peut exploiter l'équation là malgré cela (il s'agit de faire intervenir des intervalles)
mais là c'est tres long à décrire et je suis au boulot ... excuse camarade

[alphamethyste]

eh oui! bon tu as saisi je suppose à présent le comment proceder pour resoudre le problème

tu vois c'est trompeur cher camarade! (faut pas se fier des fois au visuel)

[PierreCapd]

En fait, il est supposé que a, b et c sont des complexes n'ayant pas le même module, et que P, Q et R sont réels et il faut montrer que a, b et c sont réels. C'est pour ça que j'ai voulu avoir une expression explicite de a, b et c en fonction des réels P, Q et R ...

J'ai trouvé quelques infos sur un exercice, cela vous sera peut-être utile. Notons a, b et c les racines de l'équation suivante (dans C) :


Alors :




Sauf erreur de ma part on en déduit :




Cela prouve que a, b et c sont les racines d'une équation du 3ème degré à coefficients réels. On peut maintenant conclure comme l'a indiqué zygomatique :

[INDENT]Si deux des 3 racines sont complexes, elles sont conjuguées et ont donc le même module. Puisque les racines ont par hypothèse des modules différents, elles sont donc toutes réelles.
[/INDENT]
Pierre