Distance entre deux droites parrallèles

[Max_91]

Bonjour un problème me cause problème :marteau:

Voici l'énnocé:

Vérifier que les deux droites suivantes sont parallèles et calculer la distance qui les sépare
d1 : x = 4 + 2t, y = 5 ;) 2t, z = 3+ 4t et d2 : x =1+ s, y =1- s, z = 3+ 2s

Je parviens aisément à prouver que les droites sont parallèles, mais calculer la distance m'est problématique puisque le produit vectoriel des vecteurs directeurs est nul, je ne peux donc pas utiliser la formule de distance d'un point à une droite...

[Ben314]

Salut,
Comment ça tu peut pas "utiliser la distance d'un point à une droite " ??????
Moi, j'aurais au contraire dit qu'on pouvait l'utiliser et même... prendre n'importe quel point de la première droite vu que la distance de n'importe quel point de la première droite à la deuxième droite est toujours la même...

P.S. Et je comprend que dalle à ce que tu appelle "la formule de distance d'un point à une droite" : quand tu calcule la distance d'un point à une droite, c'est quoi cette histoire de deux vecteurs directeurs ? Moi j'en vois qu'un (celui de la droite...)

[Max_91]

Bon j'explique un plus en détails:

La formule dont je parles est celle-ci:

d=(N*P1P2)/ ||N||
où N et P1P2 sont des vecteurs et N est un vecteur normal au droite

Pour calculer N je voulait utiliser le produit vectoriel de v1 et v2 qui sont les vecteurs directeurs des droites d1 et d2.

Selon l'énnoncé, v1=(2,-2,4) et v2=(1,-1,2) comme les droites sont parallèles, le produit vectoriel de ces deux vecteur est nul...

[paquito]

Tu détermines très facilement l'équation normale d'un plan P perpendiculaire à chaque droite, puis , c'est un jeu d'enfant!!

P:(x-1)-(y-1)+2(z-3)=0.

[mathelot]

on détermine le point A(4,5,3) sur

1ère méthode

on minimise



la distance est

2ème méthode


équation du plan normal () passant par A


on détermine
B(5/6;7/6;16/6)

[mathelot]

je suis intéressé par la méthode permettant d'obtenir la distance
entre deux droites de



merci.

[paquito]

C'est merveilleux, il ne reste plus qu'à encadrer le résultat, qui est faux!! c'est 5;
pour la distance entre 2 droites, utilises le produit vectoriel.

[mathelot]

C'est merveilleux, il ne reste plus qu'à encadrer le résultat, qui est faux!! c'est 5;

tu peux montrer tes calculs ?

[lionel52]

Je sais comment il a trouvé 5 mais c'est bien mathelot qui a raison !
(Il a pris le point d'origine de d1 A(4,5,3) et celui de d2 B(1,1,3) et a calculé AB

[zygomatique]

je suis intéressé par la méthode permettant d'obtenir la distance
entre deux droites de



merci.

salut

tu trouveras ton bonheur là :: http://fr.wikipedia.org/wiki/Propri%C3%A9t%C3%A9s_m%C3%A9triques_des_droites_et_des_plans#Distance_entre_deux_droites_quelconques_de_l.27espace



pour revenir à l'énoncé initial :: encore un exemple où on veut à tout prix utiliser une formule sans vérifier les hypothèses pour l'appliquer ...

ainsi dans ce premier lien on utilise un résultat qui nécessite que ces deux droites ne soient pas parallèles ...

dans ce cas éventuel on utilise http://fr.wikipedia.org/wiki/Propri%C3%A9t%C3%A9s_m%C3%A9triques_des_droites_et_des_plans#Distance_d.27un_point_M_.C3.A0_une_droite_quelconque_D_de_l.27espace

[paquito]

tu peux montrer tes calculs ?

j'ai pris les données de l'énoncé et j'ai meme vérifié sur géospace; je ne comprends pas trop pourquoi on ne trouve pas la même chose,

[mathelot]

Je sais comment il a trouvé 5 (Il a pris le point d'origine de d1 A(4,5,3) et celui de d2 B(1,1,3) et a calculé AB

@Paquito: tu as dû faire une erreur de raisonnement, par exemple,
considérer que le couple (A,B) donne la distance entre (d1) et (d2),
ce qui n'est pas, vû que les points A et B sont "flottants", à cause
de la nature affine de la droite (il n'y a pas unicité
du choix d'un repère ni de la paramétrisation)

[paquito]

Je sais comment il a trouvé 5 mais c'est bien mathelot qui a raison !
(Il a pris le point d'origine de d1 A(4,5,3) et celui de d2 B(1,1,3) et a calculé AB

Pas du tout! j'ai pris le point A de d2 et le point C, intersection du plan orthogonal à d2 avec d1

équation: x-y+2z=6, si on prend le point B,on trouvera x-y+2z=5,d'où un risque d'étourderie; sinon, quand on ne sait rien faire, on évite de prendre les gens pour des c...

comme la bonne réponse est bien celle donnée par mathelot et vaut sensiblement 4,9833... géospace arrondit à 5!

moralité: la géométrie analytique, c'est pas difficile, mais il vaut mieux prendre son temps...

[paquito]

@Paquito: tu as dû faire une erreur de raisonnement, par exemple,
considérer que le couple (A,B) donne la distance entre (d1) et (d2),
ce qui n'est pas, vû que les points A et B sont "flottants", à cause
de la nature affine de la droite (il n'y a pas unicité
du choix d'un repère ni de la paramétrisation)

Faut pas exagérer, j'ai fait ça trop vite et en plus , 5 je trouvait ça bien et je n'ai pas demandé de décimales à géospace!!

comme je dis à mes élèves quand je fais une étourderie qu'ils voient forcément (sales gosses!): non seulement je vous montre ce qu'il faut faire mais en prime, de temps en temps, je vous montre aussi ce qu'il ne faut pas faire! :ptdr:

[Ben314]

je suis intéressé par la méthode permettant d'obtenir la distance
entre deux droites de



merci.

Dans le cas où tu as les équations paramétrique, ben tu a l'embarras du choix concernant les méthodes :

I) "A la main complet" :
Tu prend un point M quelconque de D (i.e. t quelconque) et un point N quelconque de D' (i.e. s quelconque) et tu calcule MN^2 qui est (en fonction du bagage que tu as....)
I.1) Une fonction en deux variables s,t dont le minimum sera atteint lorsque les deux dérivées partielles sont nulles.
I.2) Une "presque" forme quadratique en (s,t) que l'on peut réduire (gauss) pour en déterminer le minimum.
I.3) Pour t fixé, une équation du 2nd degré en s et on sait depuis le Lycée que le sommet de la parabole correspondante et en "s=-b/(2a)". Idem en t.

II) Avec un mini de connaissance.
Pour que la distance de M à N (sur les deux droites) soit minimale, il faut que M soit le projeté de N et vice versa, donc que MN (vecteur) soit perpendiculaire à u (vect. dir. de D) et aussi à v (vect. dir. de D').
II.1) On peut écrire le système linéaire ==0 (de paramètres s et t) et le résoudre.
II.2) Dans le cas spécifique de la dimension 3 (les autres méthodes marchent en toutes dimensions), on peut en déduire que, pour avoir le min., MN doit être colinéaire à u^v (produit vectoriel) lorsque u et v sont non colinéaire (i.e. D et D' non parallèles) puis écrire (où A et B sont des "points de base" de D et D') :

On en déduit, (vu que u^v est orthogonal à u et à v) que

donc

Formule qui est en fait évidente si on connait l'interprétation géométrique du déterminant (volume du parallélépipède engendré par...) et celle de la norme du produit vectoriel (surface du parallélograme engendré par...)

[mathelot]

merci.............