Bonjour,
J'aurai besoin d'aide pour un exercice, du moins c'est plutôt un point de cours qui fait défaut.
Si un entier, on note U_n le sous-groupe de x constitué par les racines n-ièmes de l'unité.
1) Montrer que si sont deux entiers tels que , alors les groupes x et ne sont pas isomorphes.
Pour prouver que c'est pas un isomorphisme, peut-on simplement montrer que x ne possède pas d'éléments d'ordres mn ?
Mais je sais pas comment partir, genre je voulais dire qu'on prends un couple x , d'ordres respectifs m et n, mais ensuite je vois pas comment arriver à dire qu'au final arrivé à une absurdité...
2) On suppose que sont deux entiers tels que . Montrer que l'application x définie par est un morphisme de groupes. Déterminer son noyau (Indication : penser à Bézout) et en déduire que x et sont isomorphes.
J'ai prouver le morphisme de groupe, mais après je vois pas pourquoi on a cette indication pour montrer le contenu du noyau, car si f est injectif, ce qui est pas compliqué, à moins que je me trompe, je sais directement que le noyau c'est
Du coup à partir de là, comment montrer que c'est un isomorphisme, il faudrait que je prouve que f est une bijection... Est-ce que le noyau réduit à l'élément neutre permet de conclure, si oui je vois pas pourquoi en fait.