Ncdk a écrit:Bonjour,
J'ai un exercice qui m'énerve un peu car je comprends pas, je tourne en rond...
Soient (G,.) un groupe et
1) Montrer que si xy=yx et si x et y sont d'ordre fini, d'ordres respectifs m et n, alors xy est d'ordre fini divisant ppcm(m,n) et que si pgcd(m,n)=1, xy est d'ordre ppcm(m,n).
2) Montrer que si G est abélien, l'ensemble des éléments de G d'ordre fini est un sous-groupe de G.
3) Montrer que si xy est d'ordre fini, yx l'est aussi. Que dire de l'ordre de yx ?
1) Je sais déjà que
Si j'arrive à prouver que m+n | ppcm(m,n) c'est gagné, si je me trompe pas.
Je sais pas comment m'y prendre, j'ai tenté de supposer que m+n | ppcm(m,n) et en disant que pgcd(m,n) = 1 on retombé sur ma supposition mais ça j'ai l'impression que ça prouve absolument rien...
Merci d'avance
Absolument... pas du tout...Ncdk a écrit:Ah oui, en effet, mais comment dire ça, quand on a seulement et , je sais pas comment j'aurai fait de toute manière pour voir illico que ça revient à dire que .
Ca, par contre, c'est effectivement la bonne façon de procéder dans le cas où pgcd(m,n)=1 ce qui va impliquer que (i.e. je crois pas qu'il y ait franchement plus rapide)Ncdk a écrit:Soit H = =
Du coup |H|=m
Soit H' = =
Du coup |H'|=n
...
L.A. a écrit:3) on n'est plus dans le cas commutatif ici (sinon en effet la question est rapidement tranchée).
Il faut que tu relies xy à yx d'une certaine manière pour être sûr qu'ils ont même ordre.
(exemple : si tu sais que a^2 = b et que a est d'ordre fini alors b est d'ordre fini)
Ben314 a écrit:Ca, par contre, c'est effectivement la bonne façon de procéder dans le cas où pgcd(m,n)=1 ce qui va impliquer que (i.e. je crois pas qu'il y ait franchement plus rapide)
Je comprend pas ce que tu fait, en particulier il veut dire quoi le "que k est multiple de m et de n" ?zygomatique a écrit:si on veut que alors
puisque la relation am + bn = 1 pgcd(m, n) = pgcd(m, b) = pgcd(a, n) = pgcd(a, b) = 1
que k est multiple de m et de n donc de mn = ppcm(m, n)
Certes, mais quel rapport avec ton "donc k est multiple de n" ?zygomatique a écrit:oui parce que pgcd(m, n) = 1
Si tu avais un peu plus que du "il me semble", ça ressemblerait peut-être un peu plus à ce qu'on appelle en général une "preuve mathématique"... :ptdr:zygomatique a écrit:il me semble que de am + bn = 1 on en déduit que la seule issue pour obtenir et d'avoir k multiple de m et de n donc de ppcm(m, n) ...
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