Besoin d'aide pour un probleme de trigonometrie spherique

[Belias69]

Bonjour a tous ,


J’espère trouver de l'aide ici.
J'ai un exam dans 1 semaine sur de la trigo spherique , et le prof de ne veut pas nous donner la réponse du problème au quel je ne trouve vraiment pas de solution.

Voici l’exercice

Considérons un triangle sphérique de sommet ABC et de coté abc.

Nous connaissons les données suivantes

a=73°20'12"
A=100°27'52"
c=76°34'44"

Je vais chercher "C" a l'aide de la formule au sinus

Et je vais obtenir comme reponse 86°48'0.03"
Et donc il vient que 180°- 86°48'0.03= 93°'11,97"

Voici les deux sinus possible, mais je ne sais pas le quel choisir, et je ne peux continuer l’exercice.
Le prof nous avait donné un truc,
si a<c alors A<C mais dans ce cas la , ce truc ne fonctionne pas.

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?
Je prends tout conseils


Merci d'avance !

[Ben314]

Salut,
Ton énoncé me semble douteux...
Bon, déjà, vérifions les notations : je suppose que comme c'est conventionnellement le cas, tes longueurs de cotés a, b, c c'est celle qui sont "en face" des points A, B , C. C'est bien le cas ?
Ensuite, ce que tu note A=100°27'52", c'est bien de l'angle au sommet A qu'il s'agit ?

Si c'est bien le cas, je ne pense pas que tu puisse "résoudre" complètement ton triangle avec comme info. les valeurs de a,c et A (que ce soit en géométrie plane ou en géométrie sphérique d'ailleurs).

Si on réfléchi à ce que dise tes info. :
- On place A au pif sur la sphère.
- On trace deux géodésiques G1 et G2 partant de A et faisant un angle de 100°27'52" entre elles.
- Sur G1 (par exemple) on trace un point B situé à une "distance" (mesurée au centre) de 76°34'44"
- Reste à trouver où est situé le point C sur G2 avec comme info. qu'il est à une "distance" de 73°20'12" de A ce qui signifie qu'il est sur un cercle (qui n'est pas une géodésique) centré en A sauf que ce cercle coupe G2 en DEUX points et pas un seul => deux possibilités pour B et donc deux possibilités pour l'angle C.

Et, sauf erreur, c'est la même chose en géométrie plane (fait un vague dessin sur un brouillon...) : dans un triangle plan, la connaissance de l'angle en A et des longueurs AB et BC ne suffit pas à "résoudre" le triangle (i.e. à trouver toutes le longueurs et tout les angles)

BILAN (à mon sens : je peut tout à fait me gourrer) : soit tu as une petite info de derrière les fagots en plus dans ton énoncé permettant de savoir lequel des "deux B" il s'agit, soit tu as que les angles que tu as donné et tu pourra pas distinguer les deux cas de figure.

[mathelot]

bonsoir,


et

[Ben314]

bonsoir,

et

Certes, certes, ce sont bien là les formules de bases de la trigonométrie sphérique (et c'est bien avec ça qu'il a trouve le sinus de l'angle en C),
mais tu le résous comment le triangle avec comme données initiales a,c et A.

et d'ailleurs, s'il y en a qui comprennent que dalle à ce qu'on raconte, ils peuvent tout à fait se poser la même question en géométrie "usuelle"(=plane), à savoir peut-on déterminer l'angle en C d'un triangle dont on connait l'angle en A et les longueurs AB et BC ; les "formules" ne sont pas exactement les mêmes, mais... la réponse est la même...

[Belias69]

Tout d'abord merci a tout les deux de votre réponse,

En trigonométrie sphérique 3 infos suffisent a recoudre un triangle sphérique.

Le problème que je rencontre c'est pas avec les formules , mais ma question est quel est le sinus que je dois choisir entre les 2 réponses (sinus ) que j'ai indiqué.
Comme en trigo normal la calculette donne le 1 er sinus , mais il existe un 2 eme sinus tout a fait plausible.

Je ne suis pas sure de me faire bien comprendre :(

Mais je vous remercie tout les deux quand meme :D

[mathelot]

si,si , vous vous faites bien comprendre, mais d'après Ben, on ne sait pas choisir entre les deux valeurs possibles. En d'autres termes, le problème posé admet deux solutions.

[Ben314]

En trigonométrie sphérique 3 infos suffisent a recoudre un triangle sphérique.

Je suis plus que sceptique :
as-tu fait un dessin ?

[Ben314]

Bon, pour le calcul, j'ai la flemme (c'est quand même trés ch... à résoudre "pour de vrai" l'intersection d'un cercle et d'une géodésique sur une sphère).
Donc je me rabat sur du "gros feignant" :
http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9solution_d%27un_triangle#Un_angle.2C_le_c.C3.B4t.C3.A9_oppos.C3.A9_et_un_c.C3.B4t.C3.A9_adjacent_2

3) Cas de résolution en géométrie sphérique
...
3.3) Un angle, le côté opposé et un côté adjacent
...
Une autre solution existe lorsque b > c et que est aigu :
...

Aprés, dans ton cas de figure, avec A=100° (donc obtus), je me suis gouré (et il faut que je comprenne pourquoi... :triste: ) il ne semble effectivement y'a avoir qu'un seul cas de figure.

Mais d'un autre coté, tu te goure aussi en affirmant qu'en géométrie sphérique, avec 3 infos, il n'y a systématiquement qu'une seule solution... :ptdr:

[Ben314]

Bon, pour le calcul, j'ai la flemme (c'est quand même trés ch... à résoudre "pour de vrai" l'intersection d'un cercle et d'une géodésique sur une sphère).
Donc je me rabat sur du "gros feignant" :
http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9solution_d%27un_triangle#Un_angle.2C_le_c.C3.B4t.C3.A9_oppos.C3.A9_et_un_c.C3.B4t.C3.A9_adjacent_2

3) Cas de résolution en géométrie sphérique
...
3.3) Un angle, le côté opposé et un côté adjacent
...
Une autre solution existe lorsque b > c et que est aigu :
...

[Belias69]

Bon, pour le calcul, j'ai la flemme (c'est quand même trés ch... à résoudre "pour de vrai" l'intersection d'un cercle et d'une géodésique sur une sphère).
Donc je me rabat sur du "gros feignant" :
http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9solution_d%27un_triangle#Un_angle.2C_le_c.C3.B4t.C3.A9_oppos.C3.A9_et_un_c.C3.B4t.C3.A9_adjacent_2
Aprés, dans ton cas de figure, avec A=100° (donc obtus), je me suis gouré (et il faut que je comprenne pourquoi... :triste: ) il ne semble effectivement y'a avoir qu'un seul cas de figure.

Mais d'un autre coté, tu te goure aussi en affirmant qu'en géométrie sphérique, avec 3 infos, il n'y a systématiquement qu'une seule solution... :ptdr:

Je n'affirme pas qu'il y ait qu'une seule solution, j'affirme juste que 3 infos sont suffisante pour résoudre un triangle sphérique.
Maintenant je sais pas si on doit considérer l'une ou l'autre réponse ou si on peut en éliminer une.
Peut être que le prof voulait qu'on essaye de faire les deux réponses et qu'on voit la quelle est la plus plausible.

[Ben314]

Je n'affirme pas qu'il y ait qu'une seule solution, j'affirme juste que 3 infos sont suffisante pour résoudre un triangle sphérique.

Heuuu, pour toi, ça signifie quoi "résoudre" un triangle ?
Parce que pour moi, ça veut dire trouver LE triangle correspondant, donc s'il y a plusieurs solutions...

P.S. J'ai compris pourquoi il n'y avait qu'une seule solution : le cercle centré en B de rayon c coupe bien la géodésique partant de A avec le bon angle en deux points, mais un des deux points est situé "du mauvais coté" sur la géodésique en question.

En fait (et c'était intéressant), ça m'a obligé à farfouiller dans la littérature pour voir quelle était la définition la plus communément admise pour un "triangle sphérique" : contrairement au plan, c'est pas si clair que ça (par exemple, assez clairement, la donnée unique des 3 sommets n'est pas suffisante vu qu'il existes deux "segments" reliant deux points)

[Belias69]

Oui bah justement comment tu fais pour connaitre le bon angle ?

[Belias69]

Heuuu, pour toi, ça signifie quoi "résoudre" un triangle ?
Parce que pour moi, ça veut dire trouver LE triangle correspondant, donc s'il y a plusieurs solutions...

P.S. J'ai compris pourquoi il n'y avait qu'une seule solution : le cercle centré en B de rayon c coupe bien la géodésique partant de A avec le bon angle en deux points, mais un des deux points est situé "du mauvais coté" sur la géodésique en question.

En fait (et c'était intéressant), ça m'a obligé à farfouiller dans la littérature pour voir quelle était la définition la plus communément admise pour un "triangle sphérique" : contrairement au plan, c'est pas si clair que ça (par exemple, assez clairement, la donnée unique des 3 sommets n'est pas suffisante vu qu'il existes deux "segments" reliant deux points)

Bon voila , je viens de trouver une réponse a mon problème.

Avant toute résolution, remarquons que lorsqu'un angle ou un côté est donné par son cosinus,
par sa tangente ou sa cotangente, sa valeur est déterminée, car ce côté ou cet angle est compris
entre 0 et . Mais s'il est donné par son sinus, il y a deux valeurs pour cet angle ou ce côté.
Nous lèverons toute ambiguïté grâce à la règle des quadrants.
Remarque
: nous utiliserons les déterminations suivantes des réciproques des fonctions
trigonométriques:
]
[
]
[
arccos : 1;1 0;


]
]
]
]
arcsin : 0;1 0; 2


]
[
]
[
arg cot : ; 0;

;)
]
[
]
[


Bon maintenant il faut que je comprenne ca

[Ben314]

Fait attention, dans ton exo. tu n'est pas dans le contexte où un angle est donné par son sinus : tes données sont des angles et le sinus que tu as n'est pas une donnée mais le fruit d'un calcul.

Sinon, concernant l'angle que tu cherche, c'est le plus petit des deux que tu as cité, mais si on regarde bien d'où ça sort, ça vient du fait que dans la définition usuellement utilisé dans les cas "appliqués" de géométrie sphérique, on considère (par définition) que les angles du triangles doivent être 180° donc elle n'est pas considérée comme "un triangle" (sauf erreur l'angle en B serait lui aussi au delà de la borne fixée de 180° fixée par la définition)

P.S. Comme Belias69 a pas l'air de vouloir de faire de dessin pour comprendre d'où provient le problème, je risque (si j'ai le temps) d'en faire un, sauf que, depuis qu'imageshack à foutu en l'air tout ce qu'on avait stocké chez eux, ça me gonfle (si vous regardez les vieux post de "énigme avec en particulier tout les super joli truc géométriques de Imod -> )
Y'a quoi comme solution relativement pérenne pour stocker des images (gratuitement et sans trop se faire chier).
Il me semble que j'arrivais à les récupérer depuis mon google drive, mais j'y arrive plus...

[Ben314]

Y'a un truc que je pensais avoir compris, mais qui, en fait m'échappe complètement...

Bon, j'arrive pas à mettre de dessin (et/ou j'ai la flemme) mais, ça prend 5 minutes sous géogébra 3d donc si y'en a que ça intéresse...
Donc, sur le dessin, une fois placés A et B sur la sphère tel que l'arc AB mesure 76°34'44", on constate que le grand cercle passant par A et faisant un angle de 100°27'52" avec celui passant par A et B coupe le cercle de centre B et de rayon 73°20'12" en deux points C1 et C2 ce qui donne deux "figures" (*) possibles ayant les propriétés demandées.

Sauf qu'en fait, que ce soit C1 ou C2 (il sont relativement proche), ils sont tout les deux du "mauvais coté" du grand cercle passant par A et B, c'est à dire pas du coté où on a placé l'angle de 100°27'52" (pas étonnant vu que 100°27'52" est obtus)
Donc, dans les DEUX CAS pour que l'angle entre les segments de cercles [AB] et [AC] soit de 100°27'52" et pas de 79°32'08'' (complément à 180°), il faut prendre comme segment de cercle [AC] celui qui fait quasiment le tour de la sphère (donc pas le plus court des deux).
Et ça se confirme parfaitement si, tel le "no brain" de base, on applique à la lettre les formules de wiki qui donnent b=-26°42'43'' (négatif) comme longueur de l'arc de cercle [AC] (qui correspond évidement à la longueur d'un des deux l'arc [ACi] sur le dessin)
Jusque là, vous me direz que tout est parfaitement cohérent.

SAUF QUE, toujours en regardant wiki, il est dit "qu'il existe une deuxième solution si a>c et que l'angle en C est aigu", ce qui n'est pas le cas ici (a<=c) donc, le "no brain" qui applique les formules de wiki sans réfléchir trouve un et un seul "triangle" solution du problème.

QUESTION liée aux deux (*) : pour obtenir le résultat de wiki (i.e. UN SEUL "triangle" solution), il faut prendre quoi comme définition du terme "triangle" ?
Perso, avec le dessin sous les yeux, je vois vraiment pas comment on peut se démerder dans la définition pour qu'une et une seule des deux "figures" (ABC1) et (ABC2) soit un "triangle".
S'il y a quelqu'un qui a déjà manipulé les triangles sphériques das des cas "concret" (géographie ou autre...) pourrait-il éclairer ma lanterne concernant la définition PRÉCISE de ce qu'on nomme un "triangle sphérique" par exemple en géographie (et pourquoi) ?