Algebre

[hadjer2015]

bonjour svp aide moi

E espace vectoriel dans E
Et f :E ---> E une application linéaire qui f^2= f et f^2= f ;)f


Démontrer que f^2= f <=> (IdE- f)^2= IdE- f


Démontrer que
ker f=Im(IdE- f) Img f=Ker(IdE- f )


Démontrer que E= Ker +;) Im

[chombier]

bonjour svp aide moi

E espace vectoriel dans E
Et f :E ---> E une application linéaire qui f^2= f et f^2= f f


Démontrer que f^2= f (IdE- f)^2= IdE- f


Démontrer que
ker f=Im(IdE- f) Img f=Ker(IdE- f )


Démontrer que E= Ker +;) Im

Je t'aide pour la première équivalence, dans le sens droite->gauche

Si f^2=f, soit u un élément de E, alors

(IdE - f)^2 (u) = ((IdE - f) o (IdE - f)) (u)
= (IdE - f)((IdE - f)(u))
= (IdE - f)(u - f(u))
= (u - f(u)) - f(u - f(u))
= u - f(u) - f(u) + f^2(u)
= u - f(u) - f(u) + f(u), par hypothèse
= u - f(u)
= (IdE - f)(u)

Donc (IdE - f)^2 = IdE - f

[hadjer2015]

Je t'aide pour la première équivalence, dans le sens droite->gauche

Si f^2=f, soit u un élément de E, alors

(IdE - f)^2 (u) = ((IdE - f) o (IdE - f)) (u)
= (IdE - f)((IdE - f)(u))
= (IdE - f)(u - f(u))
= (u - f(u)) - f(u - f(u))
= u - f(u) - f(u) + f^2(u)
= u - f(u) - f(u) + f(u), par hypothèse
= u - f(u)
= (IdE - f)(u)

Donc (IdE - f)^2 = IdE - f

svp aide moi pou r les autres questions

[capitaine nuggets]

Pour montrer l'égalité entre deux ensembles, il faut et il suffit de montrer que l'un est inclus dans l'autre et l'autre inclus dans l'un. Après ce ne sont que des définitions de l'image et du noyau d'une application linéaire.

:+++:

[capitaine nuggets]

Salut !

Pour montrer l'égalité entre deux ensembles, il faut et il suffit de montrer que l'un est inclus dans l'autre et l'autre inclus dans l'un. Après ce ne sont que des définitions de l'image et du noyau d'une application linéaire.

Démontrer que

Montre dans un premier temps que , puis dans un second temps que .


:+++:

[marawita1]

Salut !

Pour montrer l'égalité entre deux ensembles, il faut et il suffit de montrer que l'un est inclus dans l'autre et l'autre inclus dans l'un. Après ce ne sont que des définitions de l'image et du noyau d'une application linéaire.



Montre dans un premier temps que , puis dans un second temps que .


:+++:

Par exemple pour , soit u dans Ker(f), donc f(u)=0_E, il faut montrer que u dans Im(id-f)
il est clair que u= u-f(u) (puisque f(u)=0), càd u=(Id-f)(u) donc u est bien dans Im(id-f)

[paquito]

Plus simple: posons; on a démontré que , soit , ce qui établit notre réciproque!

[hadjer2015]

et pour

3/Démontrer que E= Ker +;) Im
?????????

[chombier]

et pour

3/Démontrer que E= Ker +;) Im
?????????

As-tu essayé ? Sais-tu ce que sont deux espaces vectoriels en somme directe ?

[zygomatique]

salut



donc



pour tout u dans E : u = u - f(u) + f(u)

or

donc u - f(u) est un élément de Im(I - f) dont l'image par f est 0 donc

réciproquement soit u dans Ker f .... voir marawita1 ...


soit u dans Im f donc il existe v tel que u = f(v)

donc f(u) = f(f(v)) =f(v) donc u - f(u) = 0

donc


réciproquement soit u dans Ker (I - f) alors (I - f)u = 0 f(u) = u donc u est dans Im f

donc