Somme directe et famille libre

[Mane]

Bonjour

Dans
R^4, soit P1 = Vect (X , Y) et P2 = Vect (U , V) deux plans vectoriels.
Prouver que P1 ;) P2 =
R^4 ssi la famille (X , Y , U , V) est libre.

Implication directe
Supposons P1 ;) P2 = R^4
pour tout x de R^4 on peut écrire x = p1 + p2 avec p1 dans P1 p2 dans P2.
donc x=aX+bY+cU+dV
or Vect(X,Y);)Vect(U,V) ={0} donc x=0

Après je ne vois pas comment conclure sur les coefficients

Implication réciproque
Supposons (X , Y , U , V) libre
donc pour a=b=c=d=0 on a aX+bY+cU+dV=0
or X,Y sont dans Vect(X,Y) et U, V sont dans Vect(U,V) donc Vect(X,Y);)Vect(U,V) ={0}
et dim(X , Y , U , V)=4=dim Vect(X,Y) + dimVect(U,V)=2+2=dim R^4
donc P1 ;) P2 =
R^4

Je ne suis pas sûr que ce soit très complet ce que j'ai fait si quelqu'un pouvait m'aider merci

[zygomatique]

salut

il n'y a rien ....


P = vect(x, y) et Q = vect(u, v)

1/ supposons

donc pour tout vecteur w il existe a, b, c et d unique tels que ax + by + cu + dv = w

en particulier pour w = 0 .... (à toi de finir)


2/ supposons (x, y, u, v) libre

alors (x, y, u, v) est une base de vect(x, y, u, v) qui est de dimension 4 donc P + Q = R^4

or l'équation ax + by = cu + dv ax + by + (-c)u + (-d)v = 0 ==> a = b = c = d = 0

donc le seul vecteur commun à P et Q est 0

donc ....

[Mane]

2/ supposons (x, y, u, v) libre

alors (x, y, u, v) est une base de vect(x, y, u, v) qui est de dimension 4 donc P + Q = R^4

or l'équation ax + by = cu + dv ax + by + (-c)u + (-d)v = 0 ==> a = b = c = d = 0

donc le seul vecteur commun à P et Q est 0

donc ....

J'ai pas compris pourquoi on formait ax + by = cu + dv
et aussi pourquoi ax + by + (-c)u + (-d)v = 0 ==> a = b = c = d = 0

[zygomatique]

par définition d'une base les coefficients sont uniques ....

[Mane]

par définition d'une base les coefficients sont uniques ....

Ah d'accord

Merci pour ton aide