Exercice "Trouver tous les polynômes P tels que..."

[Bizarre]

Bonsoir,

Je bloque sur un exercice, enfin un début de correction pour être plus juste. Il faut trouver tous les polynômes P de C[X] tels que (X+3)*P(X) = X*P(X+1).

"Posons a = P(1). On a, pour tout n de N*, P(n+1) = (n+3)/n*P(n). On en déduit par une récurrence aisée que pour tout n de N, P(n) = a/6*n*(n+1)*(n+2)"

1)Je sèche sur ce que j'ai mis en gras : prouver la propriété de récurrence est une chose, la trouver une autre! Comment la trouver? Le mot "aisée" me fait dire que je passe à côté d'une évidence.

2) Pour initialiser cette récurrence , c'est-à-dire calculer P(n) pour n=0, j'en déduis qu'on trouve
P(0) = 0. Comment trouve t'on cela?



Merci!

[Ben314]

Salut,
"L'évidence", ben ça consiste simplement à accepter de "se salir les mains" en regardant ce qu'il se passe :
Pour n "un peu grand", tu as :



Tu as pas un tout petit peu impression qu'on arrive à donner la k-ième étape (voire la n-ième qui exprime P(n) en fonction de P(1)) sans trop réfléchir ?

Perso, arivé à ce point, j'écrit effectivement que :
"On en déduit par une récurrence immédiate que "
Aprés, il reste à voir que le bidule se simplifie (grandement)

[Ben314]

Salut,
"L'évidence", ben ça consiste simplement à accepter de "se salir les mains" en regardant ce qu'il se passe :
Pour n "un peu grand", tu as :



Tu as pas un tout petit peu impression qu'on arrive à donner la k-ième étape (voire la n-ième qui exprime P(n) en fonction de P(1)) sans trop réfléchir ?

Perso, arivé à ce point, j'écrit effectivement que :
"On en déduit par une récurrence immédiate que "
Aprés, il reste à voir que le bidule se simplifie (grandement)

[Bizarre]

Salut,
"L'évidence", ben ça consiste simplement à accepter de "se salir les mains" en regardant ce qu'il se passe :
Pour n "un peu grand", tu as :



Tu as pas un tout petit peu impression qu'on arrive à donner la k-ième étape (voire la n-ième qui exprime P(n) en fonction de P(1)) sans trop réfléchir ?

Perso, arivé à ce point, j'écrit effectivement que :
"On en déduit par une récurrence immédiate que "
Aprés, il reste à voir que le bidule se simplifie (grandement)

Merci de répondre. En ce moment, ce n'est pas la grande confiance, et il est assez humiliant que tu crois que je n'ai pas voulu "me salir les mains". J'ai cherché, sans trouver...Et malheureusement, je ne vois toujours pas : peux-tu m'expliquer "jusq'au bout"?

[Bizarre]

Salut,
"L'évidence", ben ça consiste simplement à accepter de "se salir les mains" en regardant ce qu'il se passe :
Pour n "un peu grand", tu as :



Tu as pas un tout petit peu impression qu'on arrive à donner la k-ième étape (voire la n-ième qui exprime P(n) en fonction de P(1)) sans trop réfléchir ?

Perso, arivé à ce point, j'écrit effectivement que :
"On en déduit par une récurrence immédiate que "
Aprés, il reste à voir que le bidule se simplifie (grandement)

Franchement, je ne vois pas...

[Ben314]

... (X+3)*P(X) = X*P(X+1)....
2) P(0) = 0. Comment trouve t'on cela?

P'têt en ayant l'idée lumineuse de prendre X=0 dans la formule bleue...

[Ben314]

Franchement, je ne vois pas...

C'est quoi que tu vois pas ?

[Bizarre]

C'est quoi que tu vois pas ?

Je tiens juste à préciser, en réaction à ta première réponse : j'accepte de "me salir les mains", peut-être que je n'ai juste pas tes facilités... Merci pour ton aide en tout cas, je voulais juste que tu saches que ce n'est pas que je n'essaie pas...simplement que je n'y arrive pas.

Je ne vois pas le lien entre la propriété qu'on doit trouver(enfin, la propriété de récurrence qu'on doit supposer avant de la démontrer), à savoir P(n) = a/6*n*(n+1)*(n+2), et ce que tu as écrit : peux-tu les relier?

[Ben314]

Je préfèrerais que ce soit toi qui trouve :

Peut tu m'écrire en toute lettre (i.e. sans points de suspensions) ce que dit la formule

Dans le cas où n=13 ?

Qu'en pense tu ?

(Autre option : réécrit la formule ci dessus mais en écrivant les 10 premiers termes du numérateur et les 10 premiers du dénominateur)

[Bizarre]

Je préfèrerais que ce soit toi qui trouve :

Peut tu m'écrire en toute lettre (i.e. sans points de suspensions) ce que dit la formule

Dans le cas où n=13 ?

P(13)=(15*14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4)/(12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)*P(1)=(15*14*13)/6*P(1)=(13+2)*(13+1)*(13)/6*P(1)

Autrement dit : P(n) = (n+2)*(n+1)*n/6*P(1) = a/6*n*(n+1)*(n+2) en posant P(1) =a

Ok, j'avais buggé là-dessus, je l'avoue :/ et pour P(0)=0, j'ai honte là :/

Bonne soirée, merci Ben314