DM Fonctions composées

par **soph.9999** » 23 Sep 2006, 11:14

Bonjour à tous,

Je suis actuellement en train de travailler pour mon DM de maths pour Lundi... mais je bloque sur un exercice, les fonctions composées.

Voici le sujet :

Soit f1 la fonction définie sur R-{0;1} par f1(x) = 1/1-x

a/ On pose f2=f1 o f1. Justifier que f2 est définie sur R-{0;1}. Calculer f2(x).

b/ On pose f3=f1 o f2. Calculer f3(x).

c/ Pour tout entier naturel x non nul, on pose fn+1 = f1 o fn. Calculer f4(x).Calculer f5(x).Calculer f6(x). (utiliser les résultats du a/ et b/).

d/ Conjecturer ainsi l'expression de fn(x) suivant les valeurs de n.

e/ Calculer f2006 (2006).

Voila je vous remercie d'avance pour votre aide ;-)

par **atito** » 23 Sep 2006, 11:21

pour le a) :

Prend x dans R-{0;1} et montre que f1(x) l'est aussi.
Ensuite calcule f2(x) ( pas de problème je pense...)

continue et dis nous ce qui te bloque...

par **soph.9999** » 23 Sep 2006, 11:26

Merci pour ta réponse si rapide atito,

atito a écrit:pour le a) :
Prend x dans R-{0;1} et montre que f1(x) l'est aussi.

Mais pour le a/, justement, je ne sais pas comment rédiger... Je pense écrire
Par définition, f2 est une fonction dite composée. f1 étant définie sur R-{0;1}, elle prend ses valeurs dans un intervalle J (qui est R-{0;1}, car f2 est la composée f1 o f1). Donc f2 définie sur R-{0;1}.

C'est l'une des premieres fois que j'ai une question comme ca, et je ne sais pas la rédiger... Peut etre faudrait-il prendre une valeur x et montrer que f1 (x) à R-{0;1} ?

par **atito** » 23 Sep 2006, 11:29

Ok.
Tu notes Df l'ensemble de définition de f.

Ce que tu veux démontrer c'est que Df2 = R-{0,1}
donc tu prends un x dans cet ensemble.
comme f1(x) est défini alors:
x est dans Df2 si et seulement f1(x) est dans Df1
si et seulement si f1(x) est dans Df1=R-{0,1}

Après tu fais comme je t'ai dis au premier poste.

par **soph.9999** » 23 Sep 2006, 11:33

Pour f2(x), je trouve :

f2(x) = f1 o f1
= f1[f1(x)]
= f1(1/1-x)
= 1/1-(1/1-x)
= 1/(-x/1-x)
= -1-x/x

Est ce que j'ai bon ?

par **atito** » 23 Sep 2006, 11:43

soph.9999 a écrit:Merci pour ta réponse si rapide atito,

Mais pour le a/, justement, je ne sais pas comment rédiger... Je pense écrire
Par définition, f2 est une fonction dite composée. f1 étant définie sur R-{0;1}, elle prend ses valeurs dans un intervalle J (qui est R-{0;1}, car f2 est la R-{0;1} ?

R-{0,1} n'est pas un intervalle.

De plus la question a) contient deux trucs. Df2 et le calcul de f2.
Pour le calcul t'as fais une erreur de signe mais le calcul est bien.
= 1/(-x/1-x)
= (-1+x)/x = 1 - (1/x)

par **soph.9999** » 23 Sep 2006, 11:51

Oui, je me suis trompée, ce n'est evidemment pas un intervalle.

Ok pour le a/. Mais peux tu m'expliquer le d ?

Merci ;-)

par **atito** » 23 Sep 2006, 12:13

soph.9999 a écrit:Oui, je me suis trompée, ce n'est evidemment pas un intervalle.

Ok pour le a/. Mais peux tu m'expliquer le d ?

Merci

Bein en fait il faut se servir de la question précédente pour le faire. T'as trouvé quoi comme résultats pour f3, f4, f5 ... (fait voir ce que t'as trouvé.)? essaie de généraliser pour fn

par **soph.9999** » 23 Sep 2006, 12:47

Re,

Pour b/
J'ai trouvé :
f3= f1 [f2(x)]
f3= 1/1-1-(1/x) (en reprenant le A/)
f3=-x

Je pense qu'il y a un probleme. Mais si tel est le cas, je dois avoir faux au C/...

Peux tu me dire où j'ai fait une erreur de signe dans le A/ ?

:stupid_in mais je ne comprend pas vraiment ton résultat 1-(1/x) :-)

par **atito** » 23 Sep 2006, 12:53

f2(x) = f1 o f1
= f1[f1(x)]
= f1(1/1-x)
= 1/[1-(1/(1-x))]
= 1/(-x/1-x)
= -(1-x)/x
= (x-1)/x
essaie d'utiliser les () et les [] ...

par **soph.9999** » 23 Sep 2006, 13:07

Merci pour ta réponse :-)

Donc, pour le b/

f3 = f1 o f2
f3 = 1/[1-(x-1/x)]
f3 = 1/(x-x+1/x)
f3= 1/(1/x)
f3= x ?

par **soph.9999** » 23 Sep 2006, 13:31

Ce résultat me semble anormal, peux tu m'aiguiller atito ?

Merci.

par **atito** » 23 Sep 2006, 13:37

soph.9999 a écrit:Merci pour ta réponse

Donc, pour le b/

f3 = f1 o f2
f3 = 1/[1-(x-1/x)]
f3 = 1/(x-x+1/x)
f3= 1/(1/x)
f3= x ?

Je t'en prie.
Parfait! continue

par **soph.9999** » 23 Sep 2006, 18:34

Merci pour tes encouragements :-)

Ainsi pour f4(x) :
f4(x) = f1 o f3
f4(x) = f1[x]
f4(x) = 1/1-x ?

f5(x) = f1 o f4
f5(x) = (x-1)/x ?

f6(x) = f1 o f5
f6(x) = x ?

Est ce que j'ai bon ?

Comment faire pour conjecturer l'expression ? (d/)

par **atito** » 23 Sep 2006, 18:37

Tu vois pas un truc périodique?
f1 c f4, f2 c f5, f3 c f6 ...

par **soph.9999** » 23 Sep 2006, 18:39

Si justement, mais je ne vois pas comment démontrer cela, et trouver l'expression avec n...

par **atito** » 23 Sep 2006, 18:43

soph.9999 a écrit:Si justement, mais je ne vois pas comment démontrer cela, et trouver l'expression avec n...

bein trouver le résultat ya rien à faire. Il faut le démontrer c'est tout.
écris fn en fontion du reste de la division de n par 3.

par **soph.9999** » 23 Sep 2006, 18:45

atito a écrit:écris fn en fontion du reste de la division de n par 3.

Pourquoi par 3 ? Je ne comprend pas vraiment ce que tu dis... :hum:

par **atito** » 23 Sep 2006, 18:53

atito a écrit:Tu vois pas un truc périodique?
f1 c f4, f2 c f5, f3 c f6 ...

c'est justment grâce à cela...

en gros t'as f3k=f3 pour tout k
f3k+1=f1
f3k+2=f5

par **soph.9999** » 23 Sep 2006, 19:07

Merci pour ton aide, atito, tu m'as bien aidé...

Bonne soirée :-)

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