Dérivées - Cône inscrit dans une sphère

[karine78]

Bonsoir ! J'ai un exercice de maths à faire mais je bloque sur la première question, pouvez-vous m'éclairer s'il vous plait ?
En vous remerciant d'avance,

Voici l'énoncé:

Soit un repère (O;i;j) orthonormé, on considère une sphère de rayon 1 et de centre O et un cône inscrit dans celle-ci. Soit h l'ordonnée du centre de la base du cône, h appartient à ]-1;1[.
On rappelle:
Volume cône = 1/3 * base * hauteur
Volume cylindre = base * hauteur
Volume sphère de rayon R : 4/3 * pi * R^3

Questions:

1. Montrer que pour tout h appartenant à ]-1;1[, le volume V(h) du cône est égal à V(h)=pi/3 * (-h^3 -h^2 + h + 1 )
2.Déterminer la ou les valeurs de h telles que V(h) soit maximal
3.Calculer le volume maximal du cône et déterminer le pourcentage du volume de la sphère que le cône occupe alors.

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[titine]

Je trouve ton énoncé bizarre car on étudie un solide donc on est dans l'espace et on parle d'un repère (O;i;j) c'est à dire un repère du plan ...
Bon avec la figure on comprend.

Ce qui est bizarre aussi c'est que je viens de refaire les calculs 2 fois et je trouve
V(h) = pi/3 (h^3 - h^2 - h + 1)
au lieu de V(h) = pi/3 (-h^3 - h^2 + h + 1)
Je ne sais pas où je me suis trompé ??

Tu sais que le volume d'un cône de hauteur H et dont le disque de base a pour rayon R est :
V = 1/3 * pi R² * H

Ici la hauteur du cône est H = 1-h
Le rayon du cône est R = rac(1-h²) (tu appelles O' le point de coordonnées (0;h) et A le point du cône qui est en bas à droite (tu vois ce que je veux dire ?). Et tu appliques Pythagore dans le triangle OO'A en sachant que OA=1 car le point A est sur la sphère de centre O et de rayon 1)

[karine78]

Bonjour ! J'ai un exercice de maths à faire mais je bloque dès première question, pouvez-vous m'éclairer s'il vous plait ?
En vous remerciant d'avance,

Voici l'énoncé:

Soit un repère (O;i;j) orthonormé, on considère une sphère de rayon 1 et de centre O et un cône inscrit dans celle-ci. Soit h l'ordonnée du centre de la base du cône, h appartient à ]-1;1[.
On rappelle:
Volume cône = 1/3 * base * hauteur
Volume cylindre = base * hauteur
Volume sphère de rayon R : 4/3 * pi * R^3

Questions:
1.Exprimer la hauteur H du cône au moyen de h, puis R2 au moyen de h.
2. Montrer que pour tout h appartenant à ]-1;1[, le volume V(h) du cône est égal à
V(h) = pi/3 (h^3 - h² - h + 1)
3.Déterminer la ou les valeurs de h telles que V(h) soit maximal
4.Calculer le volume maximal du cône et déterminer le pourcentage du volume de la sphère que le cône occupe alors.

[/quote]

[karine78]

[quote="karine78"]Bonjour ! J'ai un exercice de maths à faire mais je bloque dès première question, pouvez-vous m'éclairer s'il vous plait ?
En vous remerciant d'avance,

Voici l'énoncé:

Soit un repère (O;i;j) orthonormé, on considère une sphère de rayon 1 et de centre O et un cône inscrit dans celle-ci. Soit h l'ordonnée du centre de la base du cône, h appartient à ]-1;1[.
On rappelle:
Volume cône = 1/3 * base * hauteur
Volume cylindre = base * hauteur
Volume sphère de rayon R : 4/3 * pi * R^3

Questions:
1.Exprimer la hauteur H du cône au moyen de h, puis R^2 au moyen de h.
2. Montrer que pour tout h appartenant à ]-1;1[, le volume V(h) du cône est égal à
V(h) = pi/3 (h^3 - h² - h + 1)
3.Déterminer la ou les valeurs de h telles que V(h) soit maximal
4.Calculer le volume maximal du cône et déterminer le pourcentage du volume de la sphère que le cône occupe alors.


Bonjour, effectivement l'énoncé était faux, je viens d'en recevoir un nouveau.

[titine]

Avec mes explications as tu réussi ?

[karine78]

Avec mes explications as tu réussi ?

Pas vraiment, je n'arrive pas à exprimer la hauteur H en fonction de h

[karine78]

Avec mes explications as tu réussi ?

Merci beaucoup pour votre réponse, en fait je ne comprends pas pourquoi H n'est pas égal à 1+h ?
et pour exprimer R^2 au moyen de h j'ai également des difficultés

[titine]

Merci beaucoup pour votre réponse, en fait je ne comprends pas pourquoi H n'est pas égal à 1+h ?
et pour exprimer R^2 au moyen de h j'ai également des difficultés

h est l'ordonnée du centre du cercle de base du cône.
Dans le cas de ta figure h est négatif donc H = 1 + (-h) = 1 - h
Si h est positif , le cercle de base du cône est situé au dessus de l'axe des abscisses et dans ce cas là tu vois bien que H = 1 + h.
Comprends tu ce que je veux dire ?

Pour calculer R tu appelle O' le point de coordonnées (0;h) (le centre du cercle de base du cône) et A le point du cône qui est en bas à droite (c'est à dire un des 2 points d'intersection du cercle de base avec la sphère (tu vois ?)
Le triangle OO'A est rectangle en O'.
D'après Pythagore : OA² = OO'² + O'A²
OO' = lhl (h si h est positif ou (-h) si h est négatif. Dans tous les cas OO'² = h²
OA = 1 car le point A est sur la sphère de centre O et de rayon 1.
Donc : 1² = h² + O'A²
Donc : O'A² = 1 - h²
Don R = O'A = rac(1 - h²)

As tu compris maintenat ?

[karine78]

h est l'ordonnée du centre du cercle de base du cône.
Dans le cas de ta figure h est négatif donc H = 1 + (-h) = 1 - h
Si h est positif , le cercle de base du cône est situé au dessus de l'axe des abscisses et dans ce cas là tu vois bien que H = 1 + h.
Comprends tu ce que je veux dire ?

Pour calculer R tu appelle O' le point de coordonnées (0;h) (le centre du cercle de base du cône) et A le point du cône qui est en bas à droite (c'est à dire un des 2 points d'intersection du cercle de base avec la sphère (tu vois ?)
Le triangle OO'A est rectangle en O'.
D'après Pythagore : OA² = OO'² + O'A²
OO' = lhl (h si h est positif ou (-h) si h est négatif. Dans tous les cas OO'² = h²
OA = 1 car le point A est sur la sphère de centre O et de rayon 1.
Donc : 1² = h² + O'A²
Donc : O'A² = 1 - h²
Don R = O'A = rac(1 - h²)

As tu compris maintenat ?

Oui, merci beaucoup !

Ensuite, pour la question 4, j'ai fait la première partie ( c'est à dire calculer le volume maximal du cône, j'ai trouvé Vmax= 32pi/81.)
Cependant, je ne suis pas sure pour la deuxième partie de la question ( déterminer le pourcentage du volume de la sphère que ce cône occupe).

Je pense qu'il faut faire 32pi/81/ par le volume de la sphère
Mais je n'arrive pas à calculer le volume de la sphère

[titine]

Oui, merci beaucoup !

Ensuite, pour la question 4, j'ai fait la première partie ( c'est à dire calculer le volume maximal du cône, j'ai trouvé Vmax= 32pi/81.)
Cependant, je ne suis pas sure pour la deuxième partie de la question ( déterminer le pourcentage du volume de la sphère que ce cône occupe).

Je pense qu'il faut faire 32pi/81/ par le volume de la sphère
Mais je n'arrive pas à calculer le volume de la sphère

Pourtant on te rappelle que :

Volume sphère de rayon R : 4/3 * pi * R^3

Je trouve que le cône occupe 8/27 du volume de la sphère , soit environ 30%

[karine78]

Pourtant on te rappelle que :

Je trouve que le cône occupe 8/27 du volume de la sphère , soit environ 30%

Est-ce que je peux avoir les détails du calcul s'il vous plait ? Car je ne comprends pas comment vous avez trouvé ce résultat... Merci d'avance

[titine]

Est-ce que je peux avoir les détails du calcul s'il vous plait ? Car je ne comprends pas comment vous avez trouvé ce résultat... Merci d'avance

Volume de la sphère = 4/3 * pi * r^3 = 4pi/3 ( rayon sphère=1)
Donc la proportion du volume de la sphère occupé par le cône est :
(32pi/81)/(4pi/3) = 32pi/81 * 3/4pi = 8/27 = 800/27 %

[karine78]

Merci beaucoup pour votre aide, bonne journée !