Ensembles à forte densité de nombres premiers

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Sake
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Ensembles à forte densité de nombres premiers

par Sake » 26 Avr 2015, 11:45

Bonjour,

Je viens de lire ceci quelque part :

Voici trois nouveaux ensembles qui contiennent une forte densité de nombres premiers :

5x7xpow(2,n) + 11x13xpow(3,p) pour 1<n,p<20

11x7xpow(2,n) + 5x13xpow(3,p) pour 1<n,p<10

7x13x19x23xpow(2,n) + 5x11x17xpow(3,p) pour 1,n,p<15

... et ce n'est qu'un début !


En attendant l'accord de l'auteur, je ne posterai pas son nom complet et me dédouane de la paternité de ces mots.

Qu'en pensez-vous ? Moi, je sens le bullshit à des lieues parce qu'on peut faire dire tout et n'importe quoi à une expression telle que "forte densité de nombres premiers", sachant qu'il existe une infinité de nombres premiers et que "forte densité" c'est super arbitraire...



L.A.
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par L.A. » 26 Avr 2015, 12:18

Bonjour,

Sake a écrit:on peut faire dire tout et n'importe quoi à une expression telle que "forte densité de nombres premiers"


Oui et non, tout dépend si ton auteur a défini rigoureusement ce qu'il entend par ce terme (équivalent asymptotique, probabilité, etc...). Dans le cas contraire, ça n'a tout simplement aucune valeur bien sûr ou au plus celle d'une remarque.

Euler avait prouvé qu'il y avait globalement une forte densité de nombres premiers en montrant que la série des 1/p diverge, mais si tu dis juste "il y a une forte densité de nombres premiers" sans préciser dans quel sens, ça ne sert absolument à rien.

nodjim
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par nodjim » 26 Avr 2015, 13:13

C'est quoi pow(2,n) ?

nodjim
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par nodjim » 26 Avr 2015, 13:15

Sinon, dans IN, la densité des premiers est nulle il me semble.

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WillyCagnes
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par WillyCagnes » 26 Avr 2015, 13:22

nodjim a écrit:C'est quoi pow(2,n) ?


bjr

je dirais pow(2,n) = 2^n en langage C++

power (puissance)simplifié en Pow

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Ben314
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par Ben314 » 26 Avr 2015, 13:25

Salut,
Si c'est pour battre des record, il y a pas quelque temps, j'avais aussi trouvé une partie de N contenant (au moins au début) une forte densité de nombres premiers.
Si je me rappelle bien, j'avais pris les nombre inférieurs à 1000 qui n'étaient divisible ni par 3, ni par 5, ni par 11, ni par 13, ni par 17, ni par 19... :ptdr:

@L.A. : définir rigoureusement le terme "forte densité" quand tu voit les condition "fabuleuses" 1
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

L.A.
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par L.A. » 26 Avr 2015, 17:09

@Sake : as-tu un lien Internet par exemple ? ça ne nuirait pas à l'auteur contre son gré, si il poste son travail sur Internet c'est bien pour que les gens le lisent.

@Ben314 : oui, je me suis contenté de répondre à la question posée, ce qui n'empêche pas d'avoir un début d'avis personnel sur la question...

@nodjim : je pense qu'il y a tellement de façon de définir la densité d'une partie de N que pour une partie donnée on peut avoir tout les cas de figures selon la définition. Densité nulle, en quel sens ? La série des 1/p nous dit qu'il y a quand même plus de nombres premiers que de puissances de 2 par exemple.

Archytas
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par Archytas » 26 Avr 2015, 20:01

Coucou souvent pour une partie de A de N on parle de densité d de A dans N quand le rapport converge vers d. Donc j'imagine que ce qu'il entend par densité des premiers P dans A (contenant P) c'est la limite éventuelle du rapport quand n tend vers l'infini, non ? Et une densité forte serait déjà une densité non nulle parce que déjà avec A = N ça tend vers 0 (théorème des nombres premiers)

nodjim
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par nodjim » 26 Avr 2015, 20:46

Parler de densité avec des ensembles finis, pourquoi pas ? mais c'est aussi simple de chiffrer, non ?
Message à oublier d'urgence.

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Sake
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par Sake » 26 Avr 2015, 21:23

Archytas a écrit:Coucou souvent pour une partie de A de N on parle de densité d de A dans N quand le rapport converge vers d. Donc j'imagine que ce qu'il entend par densité des premiers P dans A (contenant P) c'est la limite éventuelle du rapport quand n tend vers l'infini, non ? Et une densité forte serait déjà une densité non nulle parce que déjà avec A = N ça tend vers 0 (théorème des nombres premiers)

Quel que soit l'ensemble P' de nombres premiers qu'il mettra en évidence avec ses formules, le rapport card(P')/card(N) tendra toujours vers 0 puisque card(P') < card(P). Du coup je vois pas ce qu'on entendrait par densité non nulle puisque le rapport tend systématiquement vers 0 sans valoir 0.

L.A. : J'ai vu ce qu'il a dit ici, ce que j'ai également trouvé sur son compte facebook (oui, haha, je suis curieux). Je sais pas pour vous, mais il me fait penser à un certain Claude de Bortoli...

Archytas
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par Archytas » 26 Avr 2015, 21:47

Sake a écrit:Quel que soit l'ensemble P' de nombres premiers qu'il mettra en évidence avec ses formules, le rapport card(P')/card(N) tendra toujours vers 0 puisque card(P') < card(P). Du coup je vois pas ce qu'on entendrait par densité non nulle puisque le rapport tend systématiquement vers 0 sans valoir 0.

J'ai peur que tu aies mal lu, dans la densité que je propose c'est un peu comme le quotient du cardinal de P sur celui de A (bien sur comme tout ce beau monde est infini c'est à prendre avec des pincettes).
Et avec A=P par exemple ça fait 1 tout simplement donc on peut très bien exhiber des ensembles contenant P et pour lesquels la densité de P dans ceux ci n'est pas nulle. Et c'est ce que je pense que ce jeune homme voulait dire.
Désolé de m'être mal exprimé !

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Sake
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par Sake » 26 Avr 2015, 22:38

Archytas a écrit:J'ai peur que tu aies mal lu, dans la densité que je propose c'est un peu comme le quotient du cardinal de P sur celui de A (bien sur comme tout ce beau monde est infini c'est à prendre avec des pincettes).
Et avec A=P par exemple ça fait 1 tout simplement donc on peut très bien exhiber des ensembles contenant P et pour lesquels la densité de P dans ceux ci n'est pas nulle. Et c'est ce que je pense que ce jeune homme voulait dire.
Désolé de m'être mal exprimé !

Si on prend A = N et tout ensemble (fini ou infini) de premiers au numérateur, ça donne qqchose qui tend vers 0, non ?

nodjim
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par nodjim » 27 Avr 2015, 09:16

@Sake: tu peux imaginer un sous ensemble infini de N, dont la construction ne serait pas corrélée, directement ou indirectement, aux nombres premiers, et qui contiendrait une densité non nulle de nombres premiers. Pour l'instant, personne n'a encore trouvé un tel sous ensemble. Mais sa non-existence n'est pas prouvée.

jwtdd
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par jwtdd » 29 Avr 2015, 21:12

Salut , ces formules me rappellent 2*3*k +/- 1 , on ne fait qu’éliminer les multiples de 2 et de 3 , jusqu'au carré de 3 tout vas bien mais après ça trop de multiples apparaissent.
On pourra toujours faire évoluer cette formule mais le même problème réapparaîtra.

 

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