On trouve quelques propriétés dont celle ci
muse a écrit:Bonjour a tous je me pose quelques questions dans la construction de la fonction log. Je ne définis par du tout ln comme étant la réciproque de exp. J'essaie dailleurs de le montrer...
Je pars du principe que je veux etudier les fonctions f tel que
f(x*y)=f(x)+f(y)
Avec f continue sur ]0 + oo[
On trouve quelques propriétés dont celle ci
Par conséquent elles sont proportionnelles. On choisit une seule en prenant k=1
J'appelle a ca base et je veux montrer que a=e
sachant que f(a)=1 j'ai
Deplus e est défini, dans la construction des exponentielle, par
Comment puis montrer que a=e ?
J'espere que mon message est assez clair
Merci a tous.
muse a écrit:
On trouve quelques propriétés dont celle ci
zygomatique a écrit:certes .... maistu ne me dis toujours pas comment tu la trouves ...
Muse a écrit:f(xy)=f(x)+f(y)
On dérivé par rapport a y
On prend y=1 et on a le résultat pour tout x
(ou alors comme l'a dit mathelot, je n'avais pas vu)
Du coup j'integre sous oublier que f(1)=0
Matt_01 a écrit:OK, autant pour moi, je pensais simplement que tu avais oublié de montrer la dérivabilité avant de dériver.
L'expression dans le pdf pour f permet de conclure la dérivabilité car elle est composée d'une intégrale que l'on pourrait écrire F(2x)-F(x) ou F est une primitive de f, donc dérivable sur R*+, multipliée par 1/x qui est aussi dérivable sur R*+. L'ajout de la constante ensuite ne change pas l'aspect dérivable.
muse a écrit:Pour être complètement honnête je m'étais pas posé la question et je voulais étudier l'ensemble des fonctions vérifiant f(xy)=f(x)+f(y) définies sur R+* et dérivables. Du coup je n'avais pas besoin de montrer la dérivabilité puisqu'elle était supposée. Mais c'est quand meme plus rigoureux de ne pas le faire et de le démontrer
Oui, mais il ne faut (surtout) pas oublier que cette fonction là, on ne la "croise pas" vraiment : on a besoin de l'axiome du choix pour justifier de l'existence de bases de R en temps que Q-espace vectoriel ce qui signifie qu'on ne peut pas construire explicitement une telle fonction.muse a écrit:C'est assez surprenant comme résultat c'est pas souvent qu'on croise des fonctions discontinues en tout point
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