Valeurs propres d'un produit, quotients de Rayleigh

[Sharpen]

Bonsoir à tous,
Je reviens vers vous puisque j'ai encore une petite question toujours concernant ce sujet : https://banques-ecoles.fr/cms/wp-content/data/filieres-universitaires/annales-du-second-concours-de-lens-lyon/session-2010/sujet-ecrit-2010-second-concours_mathematiques.pdf
C'est au niveau de la question 7 du premier exercice. Je suis bloqué, et, malgré plusieurs tentatives (écriture avec les quotients de Rayleigh, théorème spectral, ...) je ne vois pas trop comment résoudre cette question.
Auriez-vous quelques pistes afin que je puisse avancer sur cette question ? Merci .

[L.A.]

Bonsoir,

7) tu peux re-appliquer l'indication de la question précédente pour passer de AB à une matrice symétrique, puis lui appliquer 3)b) et bidouiller pour séparer A et B.

[Sharpen]

C'est pour le passage à une matrice symétrique que je ne comprend pas : le coefficient de Rayleigh est défini pour une matrice A symétrique. Or, dans la partie 3, le produit AB n'est pas forcément symétrique, donc pourquoi pourrait-on ré-utiliser la première partie ? Merci.

EDIT : D'accord, je vois comment utiliser la première partie, c'est juste dans le passage AB vers quelque chose de symétrique que je n'arrive pas à obtenir avec le théorème spectral.

[L.A.]

Deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres, donc le \lambda_i(AB) est aussi le \lambda_i de toute matrice semblable à AB, notamment symétrique.

[Sharpen]

D'accord, du coup j'aimerai savoir si mon raisonnement est correct :lol3: . Avec la question précédente, j'ai montré que et ont même spectre et que cette dernière est symétrique. Puisque et sont symétriques, je peux écrire que :



Et avec cette relation, je suis très tenté de dire que :



Puisque mais il est clair que ça manque de justification. Je vois pas trop comment le justifier "proprement".

[L.A.]

Tu as



Tu sais que le quotient en B est inférieur à (question 2) et que est inversible donc permute les espaces de dimension i donc



Pour l'autre inégalité, il me semble que ça marche aussi.

[Sharpen]

Oui voilà, j'ai oublié qu'il fallait insérer le dans la norme, du coup tout fonctionne. Merci beaucoup et bonne soirée :happy2: .