Plan tangent et point multiple

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Bonjour à toutes et à tous,

Dans le cadre d'un projet de mathématiques au niveau L3, j'étudies la démonstration par la géométrie projective du théorème de Villarceau (1838), à savoir : l'intersection d'un tore avec un de ses plans bitangents est une réunion de deux cercles. Mon travail s'appuie sur ce document.

Je rencontre notamment une difficulté sur le lemme 6 : l'intersection d'une surface algébrique avec un de ses plans tangents est une courbe algébrique de même degré présentant un point double au point de tangence.

Pour le moment, je comprends bien que la dite intersection est une courbe algébrique de même degré que la surface, mais je ne vois pas du tout comment obtenir que le point tangent est double. J'ai même l'impression qu'il pourrait être plus que double et que l'énoncé correct serait plutôt que ce point est au moins double (je peux grandement me tromper).

Je vous remercie d'avance pour votre aide,

Cyril

[Doraki]

Oui en général ils peuvent être plus que double (il dit que la preuve se fait en regardant les dérivées en ce point et en constatant qu'elles s'annulent et il ne dit pas que les dérivées d'ordre supérieur ne s'annulent pas non plus)

Toutefois si tu prends l'intersection d'une droite quelconque avec le tore, tu obtiens 4 points avec multiplicité (encore Bézout). En l'occurence si tu prends la droite reliant les 2 points tangents ben tu vas obtenir 2 points doubles (puisqu'ils sont au moins doubles) mais pas plus sinon ça ferait trop.

Donc dans le plan, le voisinage des points tangents va ressembler à un "x" et pas à un "*" (ou pire).

Je visualise pas du tout le truc, normalement tu obtiens 2 cercles sécants ?

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Effectivement, les deux cercles que l'on obtient sont sécants en exactement deux points. L'animation de la page Wikipédia sur les cercles de Villarceau fournit une très belle animation qui m'a aidé à bien visualiser ce qui se passe.

C'est bien ce qui me semblait, rien n'empêche les points d'être plus que doubles. De toute manière, ce n'est pas un problème, pour la preuve finale j'ai juste besoin de s'avoir qu'ils sont au moins doubles. L'idée est de construire une conique qui passe par 5 points de l'intersection du tore avec un plan bitangent : 2 sont doubles (les points cycliques qui sont sur l'ombilicale), 2 sont au moins doubles (les points tangents) et l'autre est un point quelconque de l'intersection. J'obtiens ainsi au moins 9 points d'intersection avec multiplicité, ce qui est déjà trop pour une quartique et une conique. La conique que j'ai construite était en fait incluse dans l'intersection et elle dégénère en cercle puisqu'elle passe par les points cycliques.

Pour revenir au lemme 6, l'énoncé est tout à fait général, on prend un polynôme et on s'intéresse à l'ensemble algébrique associé qui est une surface algébrique. On se donne de plus un plan tangent à disons au point . L'objectif étant de montrer que est une courbe algébrique de même degré que (on substitue le polynôme de degré qui définit dans et on a le résultat) puis que est au moins double. Ce que je peux dire c'est qu'en , et ont le même développement de Taylor à l'ordre , et je ne vois ce qui me donne l'annulation des dérivées partielles d'ordre de ...

Merci pour votre aide !