Limite

[joanie58]

Bonjour,

j'ai la fonction suivante:

on me demande d'étudier f(x) lorsque x parcours la suite suivante:

{, , , ,...} =

je trouve alors que


et d'étudier f(x) lorsque x parcours la suite suivante:

{, , , ,...} =

je trouve alors que

on me demande ensuite de déterminer et

Je trouve alors que f(0) est 1 mais pour la limite ... est-ce qu'elle n'existe pas car f(x) n'est pas continue en 0 ???

[Waax22951]

Bonjour !
En fait, on voit très nettement que la fonction n'est pas continue. Pour la démonstration, je le ferais par l'absurde.

Voici ce que j'aurais mis:

On remarque d'abord que f n'est pas définie sur l'ensemble , puisque la fonction est définie sur .
Ainsi, si on suppose f comme continue en 0, cela signifie que cette fonction est définie au voisinage de 0, donc sur un intervalle I du type:
[CENTER][/CENTER]

où est un réel positif non nul.

Montrons que quelque soit I, il existe une partie de E incluse dans I.
On remarque que la suite définie par:
[CENTER][/CENTER]
est convergente et tend vers 0.
On a alors:
[CENTER][/CENTER]

Ce qui permet d'affirmer que tous les rangs de appartiennent à I à partir d'un certain rang.
La fonction f n'est donc pas définie en certains points de I, ce qui est absurde.
Donc f n'est pas continue en 0.

J'espère avoir été clair et ne pas avoir fait de fautes ! :lol3:

Bonne soirée !

[Ben314]

Salut,

j'ai la fonction suivante:

moi, ce qui m'intéresserait fort, c'est de savoir qui est le "x" là dedans et comment, pour ces "x" là tu définit sans ambiguïté la quantité (-1)^x ?

Par exemple, je comprend pas d'où peut sortir le fait que alors que ?

[Ben314]

On remarque d'abord que f n'est pas définie sur l'ensemble

a) Ton écriture ne veut rien dire.
b) Si ce que tu voulais écrire c'est alors E, c'est l'ensemble Q de tout les rationnels non nuls.

[zygomatique]

salut

pour compléter la réponse de Ben314 ....

je ne sais pas ce que vaut pour x non entier .... (*)

je sais ce que signifie pour a > 0 ::

....

(*) à moins d'avoir poser la définition :: je note l'unique antécédent de -1 par dont la puissance 2n + 1 est -1

.... car la fonction est bijective sur R

[mathelot]

ta fonction n'est pas bien définie, elle est multivoque (=multivaluée):

[joanie58]

Si je pose dans un premier temps que m'a fonction n'est défini que pour les x suivant:


est-ce que je peux dire que ma fonction f(x)=-1?

et dans un deuxième temps, que m'a fonction n'est défini que pour les x suivant:


est-ce que je peux dire que f(x) =1?

et ensuite dire que de cela on voit que x n'est pas continue en 0 et donc que la limite n'existe pas en 0 mais la fonction f(0)=1

[Pseuda]

Cela paraît ok vu comme cela. Mais nous avons aussi e^(i*pi)= -1, soit (-1)^x = e^(i*pi*x), bien différent de -1 pour x=1/3 par exemple. Je suis perplexe.

[Waax22951]

a) Ton écriture ne veut rien dire.
b) Si ce que tu voulais écrire c'est alors E, c'est l'ensemble Q de tout les rationnels non nuls.

a) L'ensemble E représente l'ensemble des rationnels au dénominateur pair: quel est le problème dans mon écriture ? :hein:
b) En effet, il vaudrait mieux écrire , car cela suffit pour ma réponse.

Merci d'avance !

[Ben314]

a) L'ensemble E représente l'ensemble des rationnels au dénominateur pair: quel est le problème dans mon écriture ?

Le problème, c'est qu'on ne peut pas parler de LE dénominateur d'un x dans Q vu que l'écriture d'un x de Q sous la forme n'est pas unique.
Par exemple, l'ensemble est parfaitement bien défini et désigne... Q* tout entier vu que tout rationnel s'écrit aussi sous la forme .
Et si je raconte tout ça, c'est du fait que j'ai vu a peu près tout les étudiant qui acceptaient d'utiliser la notation avec a réel <0 et x dans Q finir par écrire d'énormes conneries.
C'est presque toujours liées au fait qu'en acceptant cette notation, on perd la validité de la relation .
Par exemple pour x<0.

[Waax22951]

D'accord, je comprends mieux merci pour ces précisions ! :lol3:

Bonne soirée ! :we: