équation fonctionnelle

[B055K3V]

bonjour

je cherche à résoudre l'équation g(2x) = k g(x), où k est un réel quelconque.

1) déterminer dans quel ensemble doit se trouver k pour le la résolution ait un intérêt.
(fait : IR*)

2) résolution dans des cas particuliers :
a) résoudre dans le cas k=1 i.e. g(2x)=g(x).
(fait : fonction constante)
b) résoudre dans le cas k=2 i.e. g(2x)=2g(x).
(fait : fonction linéaire)

3) résolution dans le cas k<0
a) résoudre dans le cas .
b) en déduire la forme de g dans le cas k!=0 (k différent de 0).

4) en déduire une résolution générale pour l'équation g(2x) = k g(x) en fonction de k

je bloque à la question 3)a), peut-on m'expliquer comment faire, j'ai oublié ...

[L.A.]

Bonjour,

peux-tu préciser quelle est la régularité de la solution ? (continue, croissante, etc...)

Moi j'ai l'impression que tu en oublies pas mal... si tu prends n'importe quelle fonction de [1;2[ dans R que tu prolonges à [2;4[, [4;8[, etc... ça te donne une solution. Pour la continuité, il suffira de vérifier que g(2)=kg(1) et surveiller le comportement en 0.

[B055K3V]

j'ai oublié de le préciser : la fonction est continue ... :)

[L.A.]

D'accord, mais le problème reste le même... surtout je ne comprends pas le découpage de l'énoncé en tout ces cas particuliers ; en même temps la valeur k = -(5+2V6) me semble déjà un petit trait d'humour en soi...

Prenons k=2 et g affine par morceaux qui vaut
0 en 1, 1 en 1/2, 0 en 2, 2 en 3, 0 en 4, 4 en 6, 0 en 8, etc...
(en gros /\ /\ /\ ... avec des triangles de taille croissante, on doit même pouvoir en trouver une formule avec des logs et des parties entières)
on la complète entre 1 et 0 par des triangles de taille décroissante, elle est continue et tend vers 0 en 0.

Prenons k=-1 et g définie par
0 en 1, 1 en 1/2, 0 en 2, -1 en 3, 0 en 4, 1 en 6, 0 en 8
( /\ \/ /\ ... avec des triangles alternés de plus en plus allongés sur l'axe x)
celle-ci n'aura pas de limite en 0.

finalement il n'y a à distinguer que les cas |k|>1 et les autres

[Black Jack]

Pour k > 0

g(x) = A.k^(log(-x)/log(2)) pour x < 0
g(0) = 0
g(x) = B.k^(log(x)/log(2)) pour x > 0
avec A et B des réels quelconques convient.

Et si on veut que g(x) soit aussi dérivable sur R, il faut choisir A et B de signes contraires.

... Mais cela ne convient pas pour k < 0

:zen:

[Ben314]

Salut,
Effectivement, je vois pas trop l'intérêt de l'énoncé.
Déjà, si on cherche les fonctions telle que (avec k>0 fixé), alors, via la conjugaison la condition devient ce qui équivaut à dire que la fonction est périodique de période .
Et il y a clairement... moultes solutions...

(en fait, c'est exactement la même chose que ce que dit L.A. dans son premier post., mais présenté de façon légèrement différente)

[Ben314]

b) résoudre dans le cas k=2 i.e. g(2x)=2g(x).
(fait : fonction linéaire)

Par exemple, là, c'est faux :
convient et elle n'est pas linéaire.

Si on veut "peu" de solutions, il faut, au minimum, imposer la dérivabilité de g en 0.