Sens de variation d'une suite

[Rosind]

Bonjour

Je doit étudier le sens de variation de de la suite (Un) avec n>0 définie par (3n-1)/(2n+2)

Voila ce que j'ai fait pour l'instant:

Soit (Un), la suite définie, pour tout n appartenant à N, par (3n-1)/(2n+2)
On sait que n>0
donc la suite (Un) à des termes strictement positifs
On à donc pour tout n appartenant à N:
[(3n+1-1)/(2n+1+2)]/[(3n-1)/(2n+2)]

Je n'arrives pas à résoudre ce calcul et je suis donc bloqué pour la suite de mon DM
Merci d'avance.

[ze zoune]

Bonjour,

Essaie de développer numérateur et dénominateur puis d'étudier le signe de U(n+1)/Un.

[EDIT]: de comparer à 1, pas d'étudier le signe, désolé.

[ze zoune]

Salut,

Vu comme tu es parti, il s'agit de comparer U(n+1)/Un à 1.
Si < 1 : suite décroissante
Si >1 : suite croissante

[Rosind]

Oui c'est ce que je compte faire ! J'ai juste du mal à résoudre le calcul..

[capitaine nuggets]

Salut !

Je vois à priori trois moyens pour étudier es variations de ta suite :
1) Etudier le signe de la différence .
2) Soit, comme il a été dit, comparer à , en s'assurant bien que ne s'annule pas.
3) Considérer la fonction définie par . Ta suite étant de la forme , étudier ses variations revient à étudier les variations de :+++:

Personnellement, je te conseille la 1) ou la 2), elles marchent bien et tu as directement le résultat.

:+++:

[Rosind]

Oui et je compte utiliser la deuxième méthode ! Le problème c'est que je bloques une fois arrivé à ce calcul : [(3n+1-1)/(2n+1+2)]/[(3n-1)/(2n+2)].
J'ai beaucoup de mal à le développer pour ensuite trouver le résultat.

[capitaine nuggets]

Oui et je compte utiliser la deuxième méthode ! Le problème c'est que je bloques une fois arrivé à ce calcul : [(3n+1-1)/(2n+1+2)]/[(3n-1)/(2n+2)].
J'ai beaucoup de mal à le développer pour ensuite trouver le résultat.

[Rosind]

Donc ça me ferait : (3n)/(2n+3) X (2n+2)/(3n-1) c'est ça ?

[capitaine nuggets]

Donc ça me ferait : (3n)/(2n+3) X (2n+2)/(3n-1) c'est ça ?

C'est pas que ça "ferait", ca fait effectivement ce que tu as noté : tu n'as fait que remplacer mes a,b,c,d par tes valeurs :++:

Sauf que 'y a un problème : si alors :hum:

[Rosind]

Ah bon ?
Si Un= (3n-1)/(2n+2) alors Un+1=(3n+1-1)/(2n+1+2) soit (3n)/(2n+3) non ?

[titine]

Ah bon ?
Si Un= (3n-1)/(2n+2) alors Un+1=(3n+1-1)/(2n+1+2) soit (3n)/(2n+3) non ?

Non .
Si U(n) = (3n-1)/((2n+1) alors U(n+1) = (3(n+1)-1)/(2(n+1)+1)

[Rosind]

Non .
Si U(n) = (3n-1)/((2n+1) alors U(n+1) = (3(n+1)-1)/(2(n+1)+1)

Ah.. J'ai toujours fait comme ça et on ne m'a jamais rien dit ! En tout cas merci sinon j'aurais toujours fait cette faute !

Donc ça me fait:
[3(n+1)-1]/[2(n+1)+2] X (2n+2)/(3n-1)
= [3(n+1)-1]X(2n+2) / [2(n+1)+2]X(3n-1)
= [3(n+1)X2n]+[3(n+1)X2]+[-1X2n]+[-1X2] / [2(n+1)X3n]+[2(n+1)X-1]+[2X3n]+[2X-1]
= [6n(n+1)]+[6(n+1)]+[-2n]+[-2] / [6n(n+1)]+[-2(n+1)]+[6n]+[-2]
= 6(n+1)-2n / -2(n+1)+6n

C'est bien ça ?

[titine]

Je ne comprends pas ton calcul.

Tout d'abord dire que U(n) = (3n-1)/(2n+2) signifie que U(...) = (3*...-1)/(2*...+2)
Ok ?
Par exemple :
U(10) = (3*10-1)/(2*10+2)
Ou : U(4238) = (3*4238-1)/(2*4238+2)
Toujours d'accord ?
Donc U(n+1) = (3*(n+1)-1)/(2*(n+1)+2) = (3n+3-1)/(2n+2+2) = (3n+2)/(2n+4)

Donc U(n+1)/U(n) = ((3n+2)/(2n+4)) * ((2n+2)/(3n-1)) = ((3n+2)(2n+2))/((2n+4)(3n-1))
= (6n²+10n+4)/(6n²+10n+4)
Comme 6n²+10n+4 > 6n²+10n+4
alors (6n²+10n+4)/(6n²+10n+4) > 1
Donc U(n+1)/U(n) > 1
Et comme de plus on a vu que U(n) > 0
Alors U(n+1) > U(n)
Donc la suite (U(n)) est croissante.

[zygomatique]

salut



la suite est donc croissante ....

[Rosind]

Merci beaucoup d'avoir prit le temps de m'aider ! J'ai grâce à vous comprit mes erreurs dans le développement de calculs.