Homogénéité

[Trident]

Bonjour, j'étudie en ce moment ce qu'on appelle l'espace universel d'Urysohn. C' est un espace métrique X séparable, complet (donc polonais) et universel: c'est à dire que tout espace métrique séparable se plonge isométriquement dans X (en gros, X contient une copie isométrique de tous les espaces séparables). Il vérifie de plus la propriété suivante, ce qui le différencie fortement des autres espaces polonais universels (comme C([0,1]) l'espace des fonctions continues avec la norme infinie), c'est la propriété d'ultra homogénéité: si A,B sont deux parties finies de X et si f: A -> B est une isometrie, alors on peut l'étendre en une isometrie F: U -> U (donc F restreint à A = f).

Ma question est la suivante: en quoi cette propriété est-elle vraiment intéressante?

[Rha]

Bonjour,

Voici un exemple dont je doute qu'il soit le plus pertinent pour illustrer l'importance de cette propriété:

Si l'on se donne un espace métrique fini , on en trouve une copie dans . Le groupe des isométries (bijectives) de dans lui-même est donc isomorphe au groupe des isométries (bijectives) .
Pour chacune de ces isométries , on dispose d'un prolongement qui est une isométrie bijective .
Modulo un choix de prolongement, on dispose d'un morphisme de groupes . Ce morphisme est bien sûr injectif, et donc se plonge dans .

Donc contient tous les espaces métriques finis, son groupe d'isométrie contient tous leurs groupes d'isométries (et donc tous les groupes finis).

A noter que c'est aussi vrai pour les espaces métriques compacts ou simplement séparables et précompacts, ce qui englobe les modèles métriques de certaines géométries. Les groupes d'isométries concernant ces géométries (qui ne sont pas précompacts a priori) "se trouvent" dans .

Je ne sais pas si c'est vraiment une propriété pratique. Peut-être peut-on espérer qu'une étude de fournisse des résultats limitants sur les groupes d'isométrie associés à ces géométries?