Commande avancée : Forme normale de Smith

[dtrtj]

Bonjour

J’étudie actuellement au CNAM le module Commande avancé.

J'ai un peu de difficulté a comprendre comment fonctionne la forme normale de Smith.
D'habitude je trouve une video sur Utube pour la partie démonstration.

Cette fois ci je n'ai rien trouvé.

Donc l'exemple present dans le cours et le suivant


La solution donnée est



et



Pas le methode inverse , pour la premiere solution, j'ai trouvé qu'en fait il faut multiplier par

| 1 -1 0 |
| 0 1 -1 |
| 0 0 1 |

JE me suis donc mis a chercher une methode pour trouver cette matrice
Mais rien est clair dans mon esprit :mur: , j'avoue peiner
D'autant que les solution que je trouve ne s'applique pas a la 2eme solution

C'est la raison pour laquelle je viens demander votre aide

Etant pragmatique, je prefere, si possible, une explication sur ce cas pratique.

Merci d'avance pour toutes reponses

Jerome

[Ben314]

Salut
Effectivement, si tu multiplie à droite par (qui est inversible) tu obtient .
Cela revient à faire des combinaisons linéaires de colonnes, plus précisément à faire C1->C1 ; C2-C1->C2 ; C3-sC1->C3

Mieux, si tu multiplie à droite par (inversible) tu obtient .
Et si maintenant tu multiplie à gauche par (inversible) tu obtient .
Cela revient à faire des combinaisons linéaires de lignes, plus précisément à faire L1->L1 ; L2-L1->L2.

[dtrtj]

Salut Ben Et merci pour cette réponse

Malgrés cela , je reste perplexe sur les C1->C1 ; C2-C1->C2 ; C3-sC1->C3 que je ne suis pas sur d'avoir compris.

Méthodiquement , jetais arrivé a ce résultat



Ce qui me donne :

C1.C2'+C2=0 --> C2'=-C2/C1 --> C2'=-s/s=-1
C1.C3'+C3=0 --> C3'= -C3/C1 --> C3'=-s^2/s=-s

Et donc, pour une multiplication a droite, j'utilise la matrice



Par contre je ne vois pas le lien avec C2-C1->C2, ....

Est ce que cette methode est valable ?

Merci d'avance


JErome

Salut
Effectivement, si tu multiplie à droite par (qui est inversible) tu obtient .
Cela revient à faire des combinaisons linéaires de colonnes, plus précisément à faire C1->C1 ; C2-C1->C2 ; C3-sC1->C3

Mieux, si tu multiplie à droite par (inversible) tu obtient .
Et si maintenant tu multiplie à gauche par (inversible) tu obtient .
Cela revient à faire des combinaisons linéaires de lignes, plus précisément à faire L1->L1 ; L2-L1->L2.

[dtrtj]

Est ce possible de savoir comment tu obtiens



merci d'avance

Salut
Effectivement, si tu multiplie à droite par (qui est inversible) tu obtient .
Cela revient à faire des combinaisons linéaires de colonnes, plus précisément à faire C1->C1 ; C2-C1->C2 ; C3-sC1->C3

Mieux, si tu multiplie à droite par (inversible) tu obtient .
Et si maintenant tu multiplie à gauche par (inversible) tu obtient .
Cela revient à faire des combinaisons linéaires de lignes, plus précisément à faire L1->L1 ; L2-L1->L2.

[Ben314]

Dans ma prose, les L? et les C? ne désigne pas des valeurs numériques, mais des lignes et des colonnes complètes C1=1ère colonne de la matrice ; L2=2em ligne de la matrice, etc...

Pour passer de R1 à R2, on garde la même première colonne (i.e. C1 -> C1). on remplace la deuxième colonne par la deuxième moins la première ( C2-C1 -> C2) et la troisième par la troisième -s fois la première (C3-sC1 -> C1).

Ces opérations sur les colonnes de la matrice correspondent à multiplier à droite par une matrice 3x3.
Par exemple pour faire -sxC1+0xC2+1xC3 -> C3, c'est à dire pour que la nouvelle 3em colonne soit égale à l'ancienne 3em - s fois l'ancienne première, il faut multiplier à droite par une matrice 3x3 dont la 3em colonne est -s , 0 , 1.

Idem pour faire des combinaison linéaires de ligne en multipliant à gauche par une matrice 2x2.

[dtrtj]

Ce que je n'avais pas compris c'etais si le C1 (colonne 1) représentais la matrice initiale ou la matrice In

Je viens de comprendre que, il faut determiner les operations a effectuer sur la matrice initiale afin d'arriver au resultat voulus, et de transferer ces operations sur la matrice In.

D'ou le C2-C1 -> C2 dans mon exemple

C2 - C1 -> C2
S - S -> 0 pour la matrice initiale
0-1 -> -1 pour la matrice In

Dans tout les cas , merci de ton aide

Il me reste a m'attaquer a la triangularisation des matrice :mur:

Jerome

Dans ma prose, les L? et les C? ne désigne pas des valeurs numériques, mais des lignes et des colonnes complètes C1=1ère colonne de la matrice ; L2=2em ligne de la matrice, etc...

Pour passer de R1 à R2, on garde la même première colonne (i.e. C1 -> C1). on remplace la deuxième colonne par la deuxième moins la première ( C2-C1 -> C2) et la troisième par la troisième -s fois la première (C3-sC1 -> C1).

Ces opérations sur les colonnes de la matrice correspondent à multiplier à droite par une matrice 3x3.
Par exemple pour faire -sxC1+0xC2+1xC3 -> C3, c'est à dire pour que la nouvelle 3em colonne soit égale à l'ancienne 3em - s fois l'ancienne première, il faut multiplier à droite par une matrice 3x3 dont la 3em colonne est -s , 0 , 1.

Idem pour faire des combinaison linéaires de ligne en multipliant à gauche par une matrice 2x2.

[dtrtj]

Bonjour

Je reviens vers vous car je ne comprend pas comment obtenir 1 (colonne 1 ligne 1) dans cette exemple


J'ai essayé l'elimination de Gaus Jordan, mais (sauf erreur de ma part) je ne suis pas arrivé au resultat

Merci d'avance pour toutes infos

Jerome

Ce que je n'avais pas compris c'etais si le C1 (colonne 1) représentais la matrice initiale ou la matrice In

Je viens de comprendre que, il faut determiner les operations a effectuer sur la matrice initiale afin d'arriver au resultat voulus, et de transferer ces operations sur la matrice In.

D'ou le C2-C1 -> C2 dans mon exemple

C2 - C1 -> C2
S - S -> 0 pour la matrice initiale
0-1 -> -1 pour la matrice In

Dans tout les cas , merci de ton aide

Il me reste a m'attaquer a la triangularisation des matrice :mur:

Jerome

[Ben314]

Regarde sur wiki vers le milieu de la page, tu as un algorithme pour obtenir les facteurs invariants.

On peut évidement utiliser des "variantes" pour aller plus vite. Par exemple, ici, je ferais comme ça :

On fait donc L1-L2 -> L1 qui donne

puis L2-(s+1)L1 -> L2 qui donne


Maintenant, sur la première ligne, les polynômes et sont premiers entre eux (vu que -2 n'est pas racine du deuxième) donc il existe deux polynômes et tel que que l'on peut déterminer par exemple avec l'algo. d'Euclide ou en "tâtonnant". On trouve (par exemple) ;
On fait alors

(bien noter qu'on multiplie comme d'habitude par une matrice de déterminant 1 donc inversible dans l'anneau des matrices à coefficients dans K[t])
Et il n'y a plus qu'à faire L2-s(s+1)²(s+2)/3.L1 -> L2 pour avoir le résultat

[dtrtj]

Bonsoir

Merci Ben pour cette réponse

Il m'a fallut un peu de temps pour tout décortiquer.
Sauf erreur de ma part U=1/3 S^2 dans cette exemple

Et pourquoi avoir choisis 1/3 ? Perso je l'ai fait avec U=S^2 et V=1

Dans tout les cas , merci, cela m'a fait réviser la division euclidienne des polynômes au passage

Il me reste la Forme normale de Smith-McMillan a etudier....

Bonne soirée

Jérôme

Regarde sur wiki vers le milieu de la page, tu as un algorithme pour obtenir les facteurs invariants.

On peut évidement utiliser des "variantes" pour aller plus vite. Par exemple, ici, je ferais comme ça :

On fait donc L1-L2 -> L1 qui donne

puis L2-(s+1)L1 -> L2 qui donne


Maintenant, sur la première ligne, les polynômes et sont premiers entre eux (vu que -2 n'est pas racine du deuxième) donc il existe deux polynômes et tel que que l'on peut déterminer par exemple avec l'algo. d'Euclide ou en "tâtonnant". On trouve (par exemple) ;
On fait alors

(bien noter qu'on multiplie comme d'habitude par une matrice de déterminant 1 donc inversible dans l'anneau des matrices à coefficients dans K[t])
Et il n'y a plus qu'à faire L2-s(s+1)²(s+2)/3.L1 -> L2 pour avoir le résultat