Nombres composés et série convergente ?

[Waax22951]

Bonjour,
Il y a quelque temps, j'ai vu qu'on pouvait montrer l'égalité suivante:
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Où désigne l'ensemble des nombres premiers.

Je me pose alors la question suivante: que vaut la série suivante:
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Je pensais que cette dernière divergeait aussi, mais puisqu'on a affaire à une forme indéterminée lorsqu'on veut l'exprimer en fonction de la première série que j'ai cité (à l'aide de la série harmonique), je commence à douter de ma conjecture..

Je fais donc appel à vous pour connaître le fin mot de l'histoire ! :lol3:

Merci d'avance ! :we:

[Ben314]

Salut,
Autant la somme des inverses de nombres premier, c'est pas complètement trivial de montrer qu'elle diverge (mais ça peut se faire de façon très élémentaire).
Autant la somme des inverse des nombre composés, c'est complètement trivial vu que parmi les nombres composés, il y a tout les nombres pairs (sauf 2) et que la série des 1/(2n) est déjà divergente...

[nodjim]

Et pour la série 1/2n, c'est pas difficile à montrer sa divergence.

[Waax22951]

En effet !
Je n'y avais pas beaucoup réfléchis et j'étais bloqué dans les propriétés des nombres premiers sans penser à une série aussi simple..!
Du coup merci et désolé pour cette question bête, bonne continuation !