Stabilité par un endomorphisme...

[Lostounet]

Bonjour,

Certains points du cours de diagonalisabilité ne me sont pas très clairs. Par exemple,

Question 1: Si F inclus dans E (des evn de dim finie), si F est stable par u, la matrice de u dans une base adaptée à F est de la forme:

Je ne vois pas pourquoi le bloc C n'est pas nul...
Si je prends E de dimension 3, F de dimension 2, une base B = (f1, f2, e1), dire que u stabilise F signifie en particulier que u(f1) = a.f1 et u(f2) = b.f2

Or






.... u(f1)|e1 = 0 normalement et pas un bloc "C" non nul..!


Question 2: Même pb pour une autre proposition du cours..."La matrice de u dans une base est triangulaire supérieure ssi chacun des sous-espaces Vect(e1, e2...ei) pour i dans [1, n-1] stable par u... (c'est proche de ma 1ere question)


Question 3: est valeur propre de u ssi Id non bijective...
ça coince pour la surjectivité...?

[Doraki]

Non ca ne veut pas dire que u(f1) est colinéaire à f1, et encore moins que u(e1) est orthogonal à f1.
F est stable par u veut dire que u(f1) et u(f2) sont dans F, ca ne dit strictement rien sur u(e1).

D'ailleurs tu as l'air de croire que tu as un produit scalaire sorti de nulle part qui rend toutes les bases de E adaptées à F orthogonales ?

Si tu prends l'exemple le plus simple possible avec A=B=C=(1), tu as f(x,y) = (x+y,y), et on a bien que R*{0} est stable par f, bien que C soit non nul.

[Lostounet]

Ok, je comprends.

Je pense que j'ai confondu ma question 1 et 2.

Si je prends la question 2, si u stabilise chacun des Vect(e1...ei) pour i décrivant [1;n-1], je peux dire que par exemple pour F = (e1; e2) que je renomme f1 et f2,

u(f1) est dans F car u stabilise le Vect(e1; e2). De plus u(f1) = a.f1 + b.f2 non?

Maintenant pour un produit scalaire... aucune idée comment remplir la matrice car c'est vrai qu'ils parlent pas de trucs orthogonals. Pourquoi j'ai muni l'espace d'un produit scalaire... :/

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ? (comme on explique les fractions en 6e :mur: :ptdr: )

[Doraki]

Quand tu as une base (e1...en) adaptée à F (c'est à dire telle que (e1..ek) est une base de F),
et que tu as un vecteur x de E qui se trouve être dans F, tu peux dire quoi à propos des coordonnées de x dans la base (e1...en) ?

[Lostounet]

Je peux dire qu'il n'a pas de coordonnées selon ek+1...en

[Doraki]

Et donc tu peux dire quoi de u(e1), et donc de la première colonne de la matrice de u ?

[Lostounet]

Euh u stabilise F, donc u(e1) est donc dans f... je pense qu'il y a tous les termes de la colonne allant de ek+1 à en qui sont nuls...

[paquito]

Si F est stable par u, cela veut dire que la restriction de F à u est un endomorphisme; donc si est une base F on a et donc la matrice de F est de la forme

Si tu prends,tu ne pourras pas faire mieux!

[Lostounet]

Mais c'est exactement ce 'donc la matrice de F est de la forme" qui me perturbe :p
Pourquoi le bloc C est non nul

[zygomatique]

salut

soit u stabilisant F sous ev de E

en dim finie tu as un supplémentaire de F ... notons le G

alors tout élément de E s'écrit e = f + g

u stabilise F dont pour tout f : u(f) est un élément de f

mais pour tout élément g de G tu ne sais rien : u(g) peut très bien être "combinaison linéaire" de F et de G donc C n'est pas forcément nulle

et n'oublie pas que l'image d'un vecteur est la colonne de la matrice

....

[Ben314]

Euh u stabilise F, donc u(e1) est donc dans f... je pense qu'il y a tous les termes de la colonne allant de ek+1 à en qui sont nuls...

Ce qui prouve que, dans ta matrice, les termes de la première colonne qui sont en dessous (au sens strict) de la ligne k sont tous nuls.
Et le même raisonnement montre qu'il en est de même pour la 2em, la 3em,... la k-ième colonne.
Et ca te fait ton "bloc" entièrement nul.

[Doraki]

Mais c'est exactement ce 'donc la matrice de F est de la forme" qui me perturbe :p
Pourquoi le bloc C est non nul

Je comprends vraiment pas pourquoi tu veux absolument que C soit nul :

les valeurs de C parlent des coordonnées selon e1...ek des u(ek+1) ... u(en), dont je te rappelle que, puisque tu sais seulement que F est stable par u et que e(k+1) ... en ne sont pas dans F, TU NE SAIS ABSOLUMENT RIEN DESSUS.

Si tu avais F stable par u les 2 coins en haut à droite et en bas à gauche sont nuls,

alors tu aurais, par symétrie, que F stable par u Vect(e(k+1)...en) stable par u
tous les sous-espaces supplémentaires de F sont stables par u (ben oui, tant qu'à faire ...)
et à partir de là on peut probablement carrément en déduire que u est une homothétie ou pas loin mais bon j'espère que tu vois le problème. Je vois vraiment pas comment de "pour tout x de F, u(x) est dans F" tu peux possiblement arriver à dire quoi que soit sur les images de gens qui ne sont pas dans F, ce qui rejoint mon point précédent.

Enfin n'importe quelle matrice de la forme donnée où C est non nul te donne ..... un exemple d'application u et de sev F tels que F est stable par u et où ... C est non nul !!
J'ai bien essayé de te montrer un exemple tout à l'heure mais apparemment te dire que C peut être non nul doit être contraire à ta religion.