Horreur algébrique

[Lostounet]

Bonsoir,

Je ne comprends pas trop l'algèbre linéaire car je ne vois pas bien les objets derrière les notations...
Je dois traiter la question suivante dans le cadre d'un DM:

On munit de sa structure euclidienne canonique (Ok).
Soit u un endomorphisme de R^n. Montrer que u est autoadjoint défini positif si et seulement si sa matrice dans n'importe quelle base orthonormée appartient à Sn++(R) (matrice symétrique réelle à valeurs propres strictement positives...).

Pour commencer, j'ai noté (e1, e2, ... ,en ) la base canonique de R^n. Je note (.|.) le produit scalaire associé.
Dire que u est autoadjoint défini positif, c'est par définition, en prenant deux vecteurs quelconques x et y dont je note les coordonnées (x1, x2..., xn) et (y1, ... ;yn):

(u(x)|y) = (x; u(y)).

J'ai donc d'une part,


Et d'autre part:



Pour la suite, je ne vois pas trop... Je ne sais pas si ce que j'écris sert à quelque chose. Quelqu'un pourrait-il m'aider en m'expliquant l'idée derrière tout ça...

[Skullkid]

Salut, déjà tu as eu le bon réflexe de vouloir écrire la définition d'endomorphisme autoadjoint. L'idée aurait été de faire la même chose pour tous les concepts impliqués.

En gros il y a 4 propositions dans l'énoncé :

(1) u est autoadjoint
(2) u est défini positif
(3) la matrice de u dans n'importe quelle base orthonormée est symétrique
(4) les valeurs propres de la matrice de u dans n'importe quelle base orthonormée sont strictment positives

Ce qu'on te demande de montrer c'est l'équivalence ((1) et (2)) <=> ((3) et (4)). Si tu écris la traduction mathématique de ces 4 trucs, tu vois que (1) et (2) parlent de produits scalaires alors que (3) et (4) parlent des coefficients et des valeurs propres de la matrice de u (on peut même flairer que (1) va être lié à (3) et (2) à (4)). Donc il faudrait déjà essayer de relier tout ça, d'où la question :

Si tu prends la matrice de u dans une base orthonormée, peux-tu exprimer ses coefficients et/ou ses valeurs propres via des produits scalaires ?

[Lostounet]

J'ai un peu de mal avec ça, mais je vais essayer...
Il manque donc d'abord le fait que ce soit défini positif, donc puis-je écrire que u admet des valeurs propres positives et que les u(e1) valent en fait :


?


Question sans rapport:
Peut-on définir l'application réciproque du déterminant pour prouver que On(R) est un compact (matrices orthogonales) de Mn(R) ? J'ai considéré l'application "réciproque" du déterminant (qui n'existe peut-être pas finalement..) qui renvoie {-1 ; 1} sur On(R)...
Mais il y a une infinité d'images pour un même antécédent. Qu'est-ce qui se passe

[Skullkid]

Si tes e_i sont les vecteurs de la base canonique, ils n'ont aucune raison a priori d'être des vecteurs propres de u. Pour l'instant on n'en est pas encore à chercher une démonstration, juste à chercher des liens entre hypothèses et conclusions.

Tu prends donc une b.o.n. quelconque (je n'appelle pas les vecteurs pour éviter la confusion avec la base canonique) et la matrice u dans cette base. Tu voudrais trouver un lien entre les coefficients et des produits scalaires du type (u(x)|y). Les seuls vecteurs que tu as sous la main pour jouer le rôle de x et y c'est les et la base canonique, mais comme les sont directement liés à la matrice U, c'est a priori de leur côté qu'il va falloir fouiller. Regarde donc ce que donne .

Pour ce qui est des valeurs propres, même démarche : commence par introduire une valeur propre de la matrice U. Puisque tu as une valeur propre, tu introduis forcément un vecteur propre associé qu'on va appeler x par exemple. Ensuite tu veux un lien entre un produit scalaire et . Maintenant, les vecteurs que tu as sous la main pour mettre dans tes produits scalaires, c'est les , la base canonique, et x. Mais parmi eux, il n'y a que x qui soit directement lié à . Donc...

Pour ta question sur les matrices orthogonales, non en effet on ne peut pas définir la réciproque d'une application non injective, et de toute façon il y a des matrices de déterminant 1 ou -1 qui ne sont pas orthogonales. Reviens aux définitions : une matrice orthogonale A est définie par , donc une application qui pourrait être intéressante est .

[zygomatique]

salut

un premier résultat :

en notant u* l'adjoint de u

(u(x), x) = (x, u*(x))

donc u est auto-adjoint <=> u = u* <=> mat(u) est symétrique dans une base orthonormée ....



....

[Lostounet]

Si tes e_i sont les vecteurs de la base canonique, ils n'ont aucune raison a priori d'être des vecteurs propres de u. Pour l'instant on n'en est pas encore à chercher une démonstration, juste à chercher des liens entre hypothèses et conclusions.

Tu prends donc une b.o.n. quelconque (je n'appelle pas les vecteurs pour éviter la confusion avec la base canonique) et la matrice u dans cette base. Tu voudrais trouver un lien entre les coefficients et des produits scalaires du type (u(x)|y). Les seuls vecteurs que tu as sous la main pour jouer le rôle de x et y c'est les et la base canonique, mais comme les sont directement liés à la matrice U, c'est a priori de leur côté qu'il va falloir fouiller. Regarde donc ce que donne .

Pour ce qui est des valeurs propres, même démarche : commence par introduire une valeur propre de la matrice U. Puisque tu as une valeur propre, tu introduis forcément un vecteur propre associé qu'on va appeler x par exemple. Ensuite tu veux un lien entre un produit scalaire et . Maintenant, les vecteurs que tu as sous la main pour mettre dans tes produits scalaires, c'est les , la base canonique, et x. Mais parmi eux, il n'y a que x qui soit directement lié à . Donc...

Pour ta question sur les matrices orthogonales, non en effet on ne peut pas définir la réciproque d'une application non injective, et de toute façon il y a des matrices de déterminant 1 ou -1 qui ne sont pas orthogonales. Reviens aux définitions : une matrice orthogonale A est définie par , donc une application qui pourrait être intéressante est .

Merci Skullkid pour ta réponse détaillée et excuse-moi pour le retard. Ta réponse m'aide un peu à mieux réfléchir...
On veut trouver un lien entre les coefficients de la matrice Uij et les produits scalaires du type (u(x),y) mais prendre des vecteurs quelconques de l'espace ne sert pas. Les seuls vecteurs qu'on a, c'est ceux de la base orthonormée qu'on a choisie, je suis d'accord... Je veux montrer que si u est auto-adjoint alors la matrice Uij introduire est symétrique.

A quoi ressemblerait Uij ?
Si je regarde pour i et j deux entiers naturels (u(v_j), v_i) je peux dire que pour tout i et j:

Ensuite j'aimerais exploiter le fait que ce soit une bon ... donc j'aimerais peut-être ramener sur quelque chose en lien avec (vi,vj).

Que donne le cas i=j ?
Car je ne sais pas trop ce que fait u(e1)..!


@Zygomatique Désolé mais les adjoints ne sont pas au programme donc je ne vois pas vraiment la matrice (u) si u = u* :/

[Ben314]

Salut Lostounet.

Bon, déjà pour commencer, c'est pas malin du tout de se placer dans la base cannonique vu que :
- La façon de mener les calculs serait exactement la même dans toute autre b.o.n. de l'espace.
- On te demande de montre que "... sa matrice dans n'importe quelle base orthonormée est..."

Donc tu te place dans une b.o.n. quelconque.

Ensuite, plutôt que de te faire c... avec des sommes à rallonges, ça serait pas con d'utiliser les raccourcis adaptés à l'algèbre linéaire, à savoir les matrices et le vecteurs lignes. Par exemple :
- Au lieu d'écrire que
"Si (x1,x2,...,xn) et (y1,y2,...,yn) sont les coordonnées de deux vecteur u et v dans une même b.o.n. alors (u|v)=x1y1+x2y2+...xnyn"
ne serait-il pas plus concis d'écrire que
"Si X et Y sont les vecteurs colonnes des coordonnées de deux vecteur x et y dans une même b.o.n. alors (où on identifie la matrice 1x1 avec le scalaire )"
- De même, au lieu de se taper des sommes de u(e_i) de partout, ne serait il pas plus sage de dire que, si A est la matrice de u dans une base B (quelconque) et X le vecteur colonne des coordonnées du vecteur x dans B alors AX est le vecteur colonne des coordonnées de u(x) dans cette même base B ?

Avec tout ça, ça te donnerais comme début :
Si A est la matrice de u dans une base orthonormée alors on a :
est autoadjoint




Sinon, si tu tient absolument à raisonner en terme de coordonnées et que tu t'obstine à ne vouloir voir une matrice que comme un tableau de nombres, tu peut écrire que le coeff. de la matrice de u dans une b.o.n. B=(e1,e2,...,en) est (par définition) la i-ième coordonnée de u(ej) dans B qui, vu que B est orthonormée, n'est autre que (u(ej)|ei) (Rappel : si B=(e1,e2,...,en) est orthonormée alors, pour tout x de E, x=(x|e1)e1+(x|e2)e2+...+(x|en) vu que le produit scalaire de (x1,x2,...xn) avec (0,...,0,1,0,...0) est xk )
De même donc...

[zygomatique]

@Zygomatique Désolé mais les adjoints ne sont pas au programme donc je ne vois pas vraiment la matrice (u) si u = u* :/

alors comment peux-tu parler dans ton énoncé de "autoadjoint" ?

[Ben314]

alors comment peux-tu parler dans ton énoncé de "autoadjoint" ?

On peut imaginer (je ne me prononcerais pas concernant le fait que ce soit malin ou pas) qu'il a été décidé que la notion d'adjoint, en particulier la preuve de son existence et son unicité, était "trop compliqué" ou "trop éloigné des objectifs du programme".
Et effectivement, tu n'a pas besoin de savoir ce que signifie le mot "adjoint" (qui, si tu veut le faire précéder de l'article "LE", sous entend l'existence et l'unicité de l'application linéaire v telle que (u(x)|y)=(x|v(y) pour tout x,y) pour définir ce que veut dire "autoadjoint".

Donc c'est possible de faire un cours contenant le mot "autoadjoint" et pas le mot "adjoint".

[zygomatique]

certes oui ... mais bon ...


il me semble que si un énoncé parle de autoadjoint il doit être précédé de :

DEF 1 : un endomorphisme v est adjoint de l'endomorphisme u pour tous x et y :: =

ce qui ne présuppose rien quant à son existence éventuelle et on unicité effectivement

DEF 2 : u est autoadjoint v = u

car pour être autoadjoint il faut déjà/aussi être adjoint ...


certes oui on peut effectivement résumer par ::

DEF 3 :: u est autoadjoint pour tous u et v :: =

et ne pas parler de "adjoint" ... mais tout de même ... dans la construction du savoir ...

[Ben314]

Pas forcément : tu peut aussi imaginer

Définition UN (et unique) : On dit que u:E->E (E préhilbertien) est autoadjoint lorsque, pour tout x,y de E, on a (u(x)|y)=(x|u(y))

Après je (re)dit que je ne me prononcerais pas concernant le fait de savoir si c'est malin ou pas de parler d'autoadjoint sans parler d'adjoint.
Et ce n'est pas une façon détourner de dire que je trouve ça très con mais que je préfère ne pas le dire : depuis le temps que j'enseigne, j'ai bien été obligé de constater qu'il y a certains trucs qui semblent scientifiquement parlant plutôt débiles et qui finalement, pédagogiquement parlant ne sont pas si con que ça...
Là,... je sais pas...

Par exemple, une constatation "pédagogique" concernant tout le B-A-BA de l'algèbre linéaire qu'on enseigne, c'est qu'il y a quand même un sacré paquet de définitions et que pour pas mal d'étudiant, ça pose problème.
D'où la tendance "pédagogique" actuelle à essayer d'enlever quelques définitions un peu moins indispensables que les autres. Le tout est de savoir ce qui est "indispensable" et ce qui l'est "moins"...

[zygomatique]

oui je suis bien d'accord avec toi ... c'est pourquoi il y avait ma définition 3 qui suffisait .... pour cet exercice ...

quant au problème de définition je pense qu'à force d'avoir des élèves qui en savent de moins en moins on a vu apparaître des cours avec une inflation de définitions pour compenser les lacunes des années précédentes ...

et balancer une tonne de définitions n'est effectivement pas nécessaire pour faire des math ...



à quel niveau enseignes-tu ?

[Ben314]

à quel niveau enseignes-tu ?

Je suis P.R.A.G. et, précisément cette année, je fait que de la licence (L1,L2,L3).
Sinon, en général, ça va de L1 à M1 plus à une époque de la prépa. Capes (avant la "Masterisation") et de la prépa Agreg.

[zygomatique]

merci ...

si j'osais je te demanderai dans quelle fac .... mais peut-être cela te dévoilerait ...

[Lostounet]

Hello Ben, merci pour cette réponse détaillée. ça devient de plus en plus clair !!!

Sinon, si tu tient absolument à raisonner en terme de coordonnées et que tu t'obstine à ne vouloir voir une matrice que comme un tableau de nombres, tu peut écrire que le coeff. de la matrice de u dans une b.o.n. B=(e1,e2,...,en) est (par définition) la i-ième coordonnée de u(ej) dans B qui, vu que B est orthonormée, n'est autre que (u(ej)|ei) (Rappel : si B=(e1,e2,...,en) est orthonormée alors, pour tout x de E, x=(x|e1)e1+(x|e2)e2+...+(x|en) vu que le produit scalaire de (x1,x2,...xn) avec (0,...,0,1,0,...0) est xk )
De même donc...

Ah mais c'est logique vu comme ça..!
Si

On a bien la symétrie...!
Le cas i = j a-t-il quelque chose de particulier?

Je vais maintenant bien comprendre comment alléger les notations avec les outils de l'algèbre linéaire.

Bon, déjà pour commencer, c'est pas malin du tout de se placer dans la base cannonique vu que :
- La façon de mener les calculs serait exactement la même dans toute autre b.o.n. de l'espace.
- On te demande de montre que "... sa matrice dans n'importe quelle base orthonormée est..."

Donc tu te place dans une b.o.n. quelconque..

Oui c'est logique.

Ensuite, plutôt que de te faire c... avec des sommes à rallonges, ça serait pas con d'utiliser les raccourcis adaptés à l'algèbre linéaire, à savoir les matrices et le vecteurs lignes. Par exemple :
- Au lieu d'écrire que
"Si (x1,x2,...,xn) et (y1,y2,...,yn) sont les coordonnées de deux vecteur u et v dans une même b.o.n. alors (u|v)=x1y1+x2y2+...xnyn"
ne serait-il pas plus concis d'écrire que
"Si X et Y sont les vecteurs colonnes des coordonnées de deux vecteur x et y dans une même b.o.n. alors (où on identifie la matrice 1x1 avec le scalaire )"
- De même, au lieu de se taper des sommes de u(e_i) de partout, ne serait il pas plus sage de dire que, si A est la matrice de u dans une base B (quelconque) et X le vecteur colonne des coordonnées du vecteur x dans B alors AX est le vecteur colonne des coordonnées de u(x) dans cette même base B ?

Oui... Je suis d'accord là aussi.

Avec tout ça, ça te donnerais comme début :
Si A est la matrice de u dans une base orthonormée alors on a :
est autoadjoint

Euh... Est-ce que ça me sert cette égalité car je savais que la transposée de A et A sont égales..
Maintenant je dois montrer que les valeurs propres sont positives.
Je vais utiliser le fait que A est orthogonalement semblable à une matrice D diagonale... (théorème que j'utilise mais qui ne me parle pas vraiment...). C'est la bonne idée?