Intégrale

[t.itou29]

Bonsoir,
Ca fait 3 jours que je bloque sur cette intégrale:

J'ai essayé plusieurs méthodes: IPP, chgt de variable... mais ça ne mène nulle part :mur:
Même wolfram ne donne rien à part une valeur approchée... (ou avec une fonction bizarre !)
Il resterait peut-être à développer en série mais je ne sais pas faire avec ce type de fonction

EDIT: Ca vient de là, il y en a d'autres pas mal :we: http://math.mit.edu/~sswatson/pdfs/qualifying_round_2014.pdf

[t.itou29]

Je me permet de relancer, je ne trouve vraiment rien...

[Pisigma]

Je me permet de relancer, je ne trouve vraiment rien...

Bonsoir,

Je ne sais pas si c'est utile et au risque de dire une con....

[Ericovitchi]

non, ln ab = ln a + ln b et pas ln a ln b donc ça marche pas ta recette Pisigma

effectivement, on ne peut pas exprimer de primitive avec des fonctions usuelles.
mais wolfram réponds : http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F%281-log_2%281-x%29%29 pour une primitive (avec la fonction Ei, exponentielle intégrale)

Si wolfram répond ça, inutile de chercher à intégrer d'une autre façon.

et http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F%281-log_2%281-x%29%29+for+x+%3D+0+to+1 pour la valeur de l'intégrale.

[t.itou29]

non, ln ab = ln a + ln b et pas ln a ln b donc ça marche pas ta recette Pisigma

effectivement, on ne peut pas exprimer de primitive avec des fonctions usuelles.
mais wolfram réponds : http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F%281-log_2%281-x%29%29 pour une primitive (avec la fonction Ei, exponentielle intégrale)

Si wolfram répond ça, inutile de chercher à intégrer d'une autre façon.

et http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F%281-log_2%281-x%29%29+for+x+%3D+0+to+1 pour la valeur de l'intégrale.

Si je ne dis pas de bêtise non plus c'est bon ce qu'a écrit Pisigma, après je ne sais pas si ça permet de calculer l'intégrale. Ce qui est (quasiment) sûr c'est qu'elle est bien calculable, c'est issue du MIT integration bee et d'après leur site et les solutions des années précèdentes les résulats sont exprimés par des constantes ou fonctions usuelles.

[zygomatique]

salut



posons u = 1 - x donc dx = -du

(on laisse ln(2)...)



posons x = 2/u u = 2/x donc du = -2dx/x²



merde ça bug !!!!

:ptdr:


REM : dans le PDF il y a des demi-crochets au dénominateur ....

[t.itou29]

salut



posons u = 1 - x donc dx = -du

(on laisse ln(2)...)



posons x = 2/u u = 2/x donc du = -2dx/x²



merde ça bug !!!!

:ptdr:


REM : dans le PDF il y a des demi-crochets au dénominateur ....

Ah oui !!! Merci ! J'avais pas remarqué (enfin j'avais pris ça pour des parenthèses sans trop me poser de question), du coup avec une partie entière ça change tout mais je pense pas que ce soit facile non plus.
Désolé si je vous ai fait partir dans des calculs pas possibles :ptdr:

[Pisigma]

non, ln ab = ln a + ln b et pas ln a ln b donc ça marche pas ta recette Pisigma

effectivement, on ne peut pas exprimer de primitive avec des fonctions usuelles.
mais wolfram réponds : http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F%281-log_2%281-x%29%29 pour une primitive (avec la fonction Ei, exponentielle intégrale)

Si wolfram répond ça, inutile de chercher à intégrer d'une autre façon.

et http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F%281-log_2%281-x%29%29+for+x+%3D+0+to+1 pour la valeur de l'intégrale.

@Ericovitchi : çà ne conduit à rien mais quelque chose m'échappe, je ne comprends pas ton non car





d'où

[Robic]

Oui, ces demi-crochets semblent être une notation récente, je trouve ça très pratique : si le crochet est en bas, c'est le plus grand minorant entier ("floor"), donc la partie entière, et si le crochet est en haut, c'est le plus petit majorant entier ("ceiling").

À mon avis, plutôt que de chercher à se lancer dans les méthodes de calcul d'intégrales, il faudrait d'abord d'étudier la fonction à intégrer. Par exemple on voit qu'en 1 il y a un infini, il faut donc déjà vérifier que l'intégrale a un sens en 1 (facile, ça tend vers zéro). Ensuite, si j'avais le courage, j'essaierais d'écrire cette fonction comme une fonction en escaliers, ainsi l'intégrale devient une série.

(En gros, la fonction à intégrer, s'il n'y avait pas de partie entière, varierait continûment de 1 à 0. À cause de la partie entière, elle prend les valeurs 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 et ainsi de suite. Il faut juste calculer la largeur des intervalles où elle est constante.)

Par exemple, si j'appelle f la fonction , dont la partie entière vaut 1, puis 2, puis 3 etc. jusqu'à l'infini : (et donc sa partie entière vaut n, du coup on intègre 1/n) lorsque :
et ,
c'est-à-dire :
et

Donc la fonction à intégrer vaut 1/n sur un intervalle de largeur .

On en déduit que l'intégrale est égale à (largeur de l'intervalle multipliée par la valeur de la fonction à intégrer). La somme des largeurs des intervalles fait bien 1, c'est bon signe. Maintenant, je ne sais pas si c'est facile de calculer cette série.

[paquito]

L'intégrale,supposée convergente peut s'écrire :

; en posant on obtient ,type d'intégrale qu'on ne sait pas calculer;pas la peine de chercher plus.....

[zygomatique]

on dérive

on primitive - ln(1 - x)

....

[Robic]

Paquito : pense à lire les autres messages... (ici il y a une partie entière !)

Zygomatique : bien vu ! Au final cette intégrale est donc assez simple à calculer pourvu qu'on ne se jette pas dans les calculs sans réfléchir.

(Ton premier « on dérive » signifie en fait « on primitive », je suppose.)

Bref, si je ne me trompe pas on trouve ln(2). (Validé avec un programme écrit rapidement en Python : c'est bien ça.)

Au fait : au lycée on apprend à intégrer les fonctions continues, puisqu'on n'a pas encore vu l'intégrale de Riemann ou celle de Lebesgue. Tous ceux qui se sont lancés dans les calculs alors que la fonction est discontinue méritent un châtiment exemplaire... :we:

[chombier]

posons x = 2/u u = 2/x donc du = -2dx/x²



(Je n'ai pas vérifié la suite mais je ne crois pas qu'elle soit valable)

Petite erreur de borne zygo

[zygomatique]

chombier ::

oui erreur de borne effectivement .... mais de toute façon ce que j'ai écrit n'a pas de sens .... (ln de négatif ) ...

Robic :: non je dérive ...

...

[t.itou29]

Zygomatique : bien vu ! Au final cette intégrale est donc assez simple à calculer pourvu qu'on ne se jette pas dans les calculs sans réfléchir.

Et qu'on ne lise pas l'énoncé de travers ! Je ferai attention la prochaine fois :ptdr:
Mais c'est vrai qu'avec le bon énoncé ça se fait plutôt bien

Au fait : au lycée on apprend à intégrer les fonctions continues

"Apprendre" c'est un bien grand mot, même l'intégration par parties n'est plus au programme...

[t.itou29]

on dérive

on primitive - ln(1 - x)

....

Je me demande quand peut-on intégrer/dériver terme à terme un dvpt en série (ici simple) ? Jusqu'à présent je me souciait pas trop de la rigueur quand je le faisais mais il doit avoir des conditions ?

[zygomatique]

oui bien sur ....

ici par exemple évidemment -1 < x < 1

ensuite il faut aussi prouver la convergence des séries ...

[paquito]

Je me demande quand peut-on intégrer/dériver terme à terme un dvpt en série (ici simple) ? Jusqu'à présent je me souciait pas trop de la rigueur quand je le faisais mais il doit avoir des conditions ?

Ici, on a un développement en série entière ()dont le rayon de convergence vaut 1; à l'intérieur du rayon de convergence on peut dériver ou intégrer terme à terme, on obtient la série entière de la dérivée ou de la primitive qui s'annule pour x=0; dans les 2 cas le rayon de convergence reste égal à un et donc à l'intérieur du rayon de convergence on peut dériver autant de fois que l'on veut: donc par exemple pour |x|e^{-\frac {1}{ x^2}}[/TEX] si et qui admet un développement en série entière, mais a tout les ordres donc le développement de f,identiquement nul ne converge pas vers f(cet exemple a été construit pour créer une curiosité!

[t.itou29]

Ici, on a un développement en série entière ()dont le rayon de convergence vaut 1; à l'intérieur du rayon de convergence on peut dériver ou intégrer terme à terme, on obtient la série entière de la dérivée ou de la primitive qui s'annule pour x=0; dans les 2 cas le rayon de convergence reste égal à un et donc à l'intérieur du rayon de convergence on peut dériver autant de fois que l'on veut: donc par exemple pour |x|e^{-\frac {1}{ x^2}}[/TEX] si et qui admet un développement en série entière, mais a tout les ordres donc le développement de f,identiquement nul ne converge pas vers f(cet exemple a été construit pour créer une curiosité!

Désolé j'étais en vacances et je n'avais pas internet...
A l'intérieur du rayon de converge on peut donc faire "ce que l'on veut" !
J'ai une autre question concernant les intégrales dans le cas où la fonction n'est pas définie au(x) borne(s) mais sa primitive l'est, par exemple:

En posant , j'ai trouvé comme primitive qui est bien définie en 1 et a une limite finie en +infini, ce qui donne pour l'intégrale.
Mais comme l'a dit Robic au lycée on ne traite que la cas des fonctions continues, le th. fondamentale n'est "prouvé" que dans le cas d'une fonction continue, d'où ma question: le calcul réalisé est-il correct ? Peut-on passer à la limite ?
En fait il y a pleins de manipulations que je "m'authorisais" à faire en analyse pour calculer des intégrales, limites, sommes... mais quand je cherche à les justifier rigoureusement c'est pas si simple que ça...

[paquito]

C'est vrai qu'au lycée on ne voit plus grand chose, en particulier le cas d'intégrale convergente , ici en 1 et en+oo.

Tu as : .

Ton intégrale est convergente en 1 et plus l'infini, ce qui permet d'écrire:
, soit une intégrale généralisée

Sinon, pour la primitive de l'intégrante c'est bon, mais c'est chanceux car elle est définie par :

; exemple:= ; on pose et on obtient , mais
n'est pas une primitive de( c'est ))