Fonctions holomorphes

[soraya-crypto]

svp j'aurais besoin d'une aide d'une façon général sur comment résoudre ce genre d'exercice :



soit P(x,y)=4+5(x²-y²)
-trouver toutes les fcts réelles Q(x,y) telles que la fonction f(x+iy)=P(x,y)+iQ(x,y)
soit holomorphe
Merci ;)

[mathelot]

bjr,
as tu écris les équations de Cauchy-Riemann ? les as tu intégrées ?

ici

[mathelot]

il y a une solution évidente (1) du fait que


En intégrant les équations, on montre que (1) est la seule solution.

Nota bene: Si l'on primitive du , la "constante" d'intégration k(y) est fonction de y.

[soraya-crypto]

bonjour j'ai essayer de resoudre l'exercice par moi meme, si vous pouvez me corriger ce cerait genial
alors voila :
dP(x,y)/dx=dQ(x,y)/dy = 10x.......(1)
dP(x,y)/dy=-dQ(x,y)/dx = -10y.......(2)


(1)==>> en integrant dQ/dy par rapport a y on obtien Q(x,y)=10xy +cste

(2)==>> en integrant dQ/dx par rapport a x on obtien Q(x,y)=10xy +cste2

ps: sur ce coup j'ai eu de la chance d'etre tomber sur le meme Q(x,y) en integrant les dQ
mais qu'aurais-je pu faire si ce n'était pas le cas le les prends les deux ou leur somme ou quoi !!

[mathelot]

modulo k.

[soraya-crypto]

et si on avait pas eu le meme resultat !!
genre


dP(x,y)/dx=dQ(x,y)/dy = 12x.......(1)
dP(x,y)/dy=-dQ(x,y)/dx = -2xy.......(2)
comment prendre f(x,y) dans ce cas la !!!

[mathelot]

et si on avait pas eu le meme resultat !!
comment prendre f(x,y) dans ce cas la !!!

on n'a qu'à considérer une fonction non holomorphe comme:


regarde ce qui se passe dans le cas non holomorphe (j'avoue avoir la flemme)

il y a deux opérateurs R-linéaires

et

le 1er coîncide avec la dérivation et le second vaut 0, dans le cas holomorphe.

[soraya-crypto]

on n'a qu'à considérer une fonction non holomorphe comme:


regarde ce qui se passe dans le cas non holomorphe (j'avoue avoir la flemme)

il y a deux opérateurs R-linéaires

et

le 1er coîncide avec la dérivation et le second vaut 0, dans le cas holomorphe.

mmmmeeerrcciiiiiiiiii <3

[Ben314]

En intégrant les équations, on montre que (1) est la seule solution.

Faire gaffe quand même que, en "intégrant", ben comme d'habitude, la solution est unique... à une constante prés...

Par exemple, ici, toute fonction de la forme Q(x,y)=10xy+Cst est solution du problème.