Quotient algèbre symétrique et algèbre extérieure

[Julien8]

Bonjour à tous, voici un exercice que je n'arrive pas à faire, je n'ai pas d'idée..

Soit un ev
Ici on note l'algèbre symétrique de , et l'algèbre extérieure de .

on a une application:


telle que

et une application :



telle que

On souhaite montrer que

Merci beaucoup et bonne journée.

[lapras]

Je ne comprends pas : n'est elle pas identiquement nul étant donné que est linéaire ?

[Julien8]

Un polynôme n'est pas linéaire

[Doraki]

Tu peux expliquer pourquoi S(V) est isomorphe à C[V*] ?
V* c'est le dual de V ou c'est autre chose ?
C[V*] c'est bien l'ensemble des polynômes dont les indéterminées sont dans V* ?

[Julien8]

Oui est le dual de .

J'ai aussi beaucoup de mal à comprendre les données..
Je pense que :
Si on suppose que à une base , alors a une base composée des .

à pour base les où les sont presque tous nuls (ex : ).

Je pense que l'algèbre des polynômes sur à pour base les où les sont presque tous nuls

Les deux objets sont canoniquement isomorphes (en envoyant les sur les )

[Doraki]

L'isomorphisme n'est pas canonique et de plus n'en est pas un si V est de dimension infinie.
De plus dans C[V] tu as deux multiplications par un scalaire différentes alors que dans S(V) ce sont les mêmes.
Si V est de dimension finie, S(V) doit être de dimension dénombrable, alors que ton C[V] est de dimension non dénombrable donc j'ai des doutes sur ton énoncé

[Julien8]

Supposons de dimension finie tu as raison.

Et aussi prenons un -ev (cela fait coïncider les multiplications scalaires non ?)

Je comprends pas pourquoi tu dis que la dimension de serait non-dénombrable, es-tu d'accord avec la base que j'ai explicité plus haut ?

Ex : loic.foissy.free.fr/pageperso/cours3.pdf page 13 corollaire 17

[Doraki]

J'ai pas vu où est-ce qu'il parle de C[V*]

C[X1...Xn] je peux comprendre ; C[v1...vn] aussi, lorsque (v1,...,vn) est une base de V. Mais C[V*] ??

[Julien8]

Bah c'est pareil non ? Tu considères

(et puis en dim finie on a )

[Doraki]

Ben dans C[V*] tu mets une indéterminée pour chaque élément de V* (et il y en a beaucoup).
dans C[v1...vn], tu mets n indéterminées, une pour chaque vecteur de la base.

[Julien8]

Je comprends pas trop ton problème..

Pour chaque élément se décompose via la base des , donc il y a n indéterminées .

Si tu comprends bien ce qu'est avec un ev de dim finie , alors considère cet objet, puis imagine que en fait , qui est bien un ev de dim finie


Considérons que et que

[mathelot]

prendre des variables comme indéterminées n'a pas de signification :dingue:

[Julien8]

Oui bon laissons tomber ces histoires d'indéterminées..

POSONS

Ca va comme définition ?

[Doraki]

C[V]et C[e1...en] ce n'est pas du tout la même chose, ou alors tu as des définitions très bizarres.

[Julien8]

Bon..

Soit un -ev de dim finie .

On pose

Voir : http://loic.foissy.free.fr/pageperso/cours3.pdf page 13 corollaire 17

[EGA-SGA]

BOnjour,
J'ai lu la discussion en diagonale, mais si Par C[V] tu désigne l'algèbre des fonctions polynomiales (ou des polynomes) de V dans C, et je pense que c'est ce que tu fais, alors c'est bien canoniquement isomorphe à l'algèbre symétrique sur le dual de V.
Tu as un pairing naturel de Sym^n(V^*)xV dans C, donné par (t_1,...,t_n,x) s'envoie sur t_1(x)...t_n(x) qui passe bien à l'algèbre symétrique. Ce pairing donne l'isomorphisme voulu.
Par définition en fait, ce truc est l'algèbre des polynomes sur V.
Si l'on choisit une base de V, qui donne un isomorphisme V=C^r alors Sym(V^*) est isomorphe à C[X_1,..., X_n] et l'evaluation est ce à quoi l'on pense, un vecteur quelconque v est assimilé à un n-uplet (x_1,...,x_n) et le pairing definit precedement est l'evaluation du polynome en le point (x_1,...,x_n).

Bref de manière plus terre à terre, ce sont les fonctions qui sont polynomiales en les coordonnées sur une base (n'importe laquelle puisque changer de base conjugue par un automorphisme linéaire, ce qui ne change pas le fait d'etre polynomial ou pas, ce qui est de toute façon assure par la construction intrinsèque du paragraphe précédent).

[EGA-SGA]

Bon, et j'ai lu ta question initiale, et si tu as bien compris les objets que tu manipule tu devrais t'en sortir/
Tu veux envoyer l'algèbre 2-exterieure dans l'algèbre symétrique tensorisée avec elle meme. Sur quoi t'aurais envie d'envoyer v,w pour que le truc passe à l'algèbre exterieure.... v\otimes w - w\otimes v bien sur.
Reste a verifier que tu atteris bien dans le noyau de d2 et que evites les elements dans l'image de d1.

[Julien8]

Merci beaucoup cela m'aide, j'avance.