Problème de proba / stat

[stocke]

Bonjour,
je suis une fois encore coincé sur un problème de proba/stat :
je tire 2 vecteurs dont l'angle est aléatoire selon une loi uniforme sur [0°;180°]. Je cherche à connaître l'espérance sur l'angle entre ces 2 vecteurs. (on ne considère que l'angle inférieur à 180° parmi les 2 possibilités).
Je ne sais pas trop comment m'y prendre. J'ai pensé (un peu instinctivement) à prendre 2 fois l'écart-type, mais ça me donne un peu plus de 100°, ce qui me semble un peu élevé comme angle. (en faisant du Monte-Carlo je trouve une moyenne à chaque fois proche de 60°.
Auriez-vous des suggestions sur la démarche à adopter ?
merci

[beagle]

Si on note la proba de -90° à 0° puis de 0° à +90°:
on passe de 90 à 45 et on remonte à 90.
Aire sous la courbe (si proportionnalité): un carré de 90 et un demi carré de 90 = 90² + 90²/2
cette surface vaut 180 x E
donc E = 45 (1+1/2) = 125/2 = proche de Monte Carlo, non?

Il te reste à traduire une approche du collège en langage maths du supérieur, si ce n'est pas le hasard ce que je raconte ...

[stocke]

Si on note la proba de -90° à 0° puis de 0° à +90°:
on passe de 90 à 45 et on remonte à 90.
Aire sous la courbe (si proportionnalité): un carré de 90 et un demi carré de 90 = 90² + 90²/2
cette surface vaut 180 x E
donc E = 45 (1+1/2) = 125/2 = proche de Monte Carlo, non?

Il te reste à traduire une approche du collège en langage maths du supérieur, si ce n'est pas le hasard ce que je raconte ...

Je n'ai pas bien compris tes 2 premiers points : pourquoi on passe de 90° à 45° ? la différence d'angle entre deux vecteurs peut prendre des valeurs entre 0° s'ils ont le même angle et 180° si l'un vaut 0° et l'autre 180°. La différence d'angle n'est donc pas bornée entre 45° et 90°.

J'ai un peu des doutes sur le résultats que tu obtient car en monte carlo je suis toujours à 60° +ou- 0.5° (je n'ai jamais atteint 62.5°)

[beagle]

Je n'ai pas bien compris tes 2 premiers points : pourquoi on passe de 90° à 45° ? la différence d'angle entre deux vecteurs peut prendre des valeurs entre 0° s'ils ont le même angle et 180° si l'un vaut 0° et l'autre 180°. La différence d'angle n'est donc pas bornée entre 45° et 90°.

J'ai un peu des doutes sur le résultats que tu obtient car en monte carlo je suis toujours à 60° +ou- 0.5° (je n'ai jamais atteint 62.5°)

lorsque l'on est aux extrèmes -90 ou +90, j'imagine que 90 est la moyenne, lorsque je suis en 0, j'imagine que 45 est la moyenne,
ensuite si cela ne fait pas du 62,5° comme mon calcul, ben :
-soit c'est faux depuis le départ ce que je raconte
-soit ce n'est pas proportionnel, donc moi j'ai pris des surfaces de triangle, donc je vais en ligne droite de 90 à 45, alors si c'est une courbe qui descend de 90 à 45 et remonte de 45 à 90 ça bouffe un peu de surface à mes triangles,
Mais je trouve mon approximation assez honnète si elle n'est pas fausse.
Bon perso je m'entraine pour les sélections françaises PISA du collège, et je crois qu'on peut remonter dans le classement mème avec mes approximations.

Bon, j'imagine qu'il faut bosser la surface un peu mieux qu'un collégien comme moi.

[stocke]

lorsque l'on est aux extrèmes -90 ou +90, j'imagine que 90 est la moyenne, lorsque je suis en 0, j'imagine que 45 est la moyenne,
ensuite si cela ne fait pas du 62,5° comme mon calcul, ben :
-soit c'est faux depuis le départ ce que je raconte
-soit ce n'est pas proportionnel, donc moi j'ai pris des surfaces de triangle, donc je vais en ligne droite de 90 à 45, alors si c'est une courbe qui descend de 90 à 45 et remonte de 45 à 90 ça bouffe un peu de surface à mes triangles,
Mais je trouve mon approximation assez honnète si elle n'est pas fausse.
Bon perso je m'entraine pour les sélections françaises PISA du collège, et je crois qu'on peut remonter dans le classement mème avec mes approximations.

Bon, j'imagine qu'il faut bosser la surface un peu mieux qu'un collégien comme moi.

je viens d'essayer pour tester avec un intervalle de [0;4°] au lieu de [0;180°]. J'ai calculé l'espérance théorique en prenant toutes les 25 combinaisons possibles (si l'angle est un entier) et je trouve un écart moyen de 1.6°.
En utilisant la méthode que tu cites ci-dessus, on devrait avoir, en allant de 2° à 1° (au lieu de 90 et 45), obtenir 2²+2²/2=6=4*E => E=1.5 donc ça ne doit pas être la bonne méthode à mon avis

[beagle]

je viens d'essayer pour tester avec un intervalle de [0;4°] au lieu de [0;180°]. J'ai calculé l'espérance théorique en prenant toutes les 25 combinaisons possibles (si l'angle est un entier) et je trouve un écart moyen de 1.6°.
En utilisant la méthode que tu cites ci-dessus, on devrait avoir, en allant de 2° à 1° (au lieu de 90 et 45), obtenir 2²+2²/2=6=4*E => E=1.5 donc ça ne doit pas être la bonne méthode à mon avis

ça me trouble un peu de comparer du discret avec du continu.
De 0 à 4 degrés, j'ai 5 choix de degrés entiers: 0,1,2,3,4
De 0 à 4 degrés j'ai 4 intervalles, 4 secteurs: de 0 à 1, de 1 à 2, de 2 à 3 et de 3 à 4.
J'aime pas trop avoir à comparer ...

[beagle]

faute sur faute le beagle,
45x3/2 c'est 135/2 et pas 125/2, ce qui nous éloigne encore plus du 60 = 180/3 à trouver.

C'est juste que cela n'est linéaire de -90 à 0 puis la remontée de 0 à 90,
ce serait bien parabolique dans la formule qu'on ne serait pas étonné.

[beagle]

Je ne connais rien à la trigo et comment on note dans quel sens les pi les - pi

grosso modo pour un angle @, l'est beau mon alpha?
avec une proba de 2@/pi l'écart sera en moyenne de @/2
et avec une proba de 1 - 2@/pi l'écart sera de pi/2 en moyenne

et faudrait donc calculer ce truc pour @ allant de 0 à pi

et comme je le disais
pour @=0
proba de 0 d'avoir 0 et proba de 1 d'avoir pi/2

pour @=pi/2
proba de 1 d'avoir pi/4
avec proba de zéro d'avoir pi/2

Bon c'est horrible comme écriture,
mais à priori c'est bien le proba de 2@/pi valant @/2 qui fait la non linéarité.

Le reste dépasse le niveau collège, je ne sais pas faire.
Ptain, ça va ètre dur de me qualifier pour PISA.

PS: je me suis placé du coté de @ plus petit que pi/2,
si c'est pas le cas, le mieux est de retourner la feuille,
enfin je dis ça juste pour éviter les probas dépassant 1 ...

[stocke]

finalement j'ai pu résoudre mon problème, il fallait commencer par calculer la densité de probabilité de l'écart angulaire entre les deux vecteur (qui s'obtient en faisant une convolution entre les densité de probabilités des angles de chaque vecteur)
Une fois cette densité de probabilité trouvée (qui correspond en fait à une fonction affine), on peut trouver l'espérance recherchée en appliquant la formule théorique puisqu'on a tous les éléments pour pouvoir l'appliquer.
De manière générale on retrouve bien une espérance de angle_max/3 pour un intervalle de [0;angle_max], donc pour 180° on a bien 60°.
merci quand même pour l'aide

[beagle]

Bravo !
Mais sais-tu si l'équation qui donne l'écart selon x en grade,
n'est pas la parabole:
x²/100 - x + 100

sinon, si tu sais nous afficher le graphe qui montre la courbe de -90 degrés à +90 degrés

[stocke]

Bravo !
Mais sais-tu si l'équation qui donne l'écart selon x en grade,
n'est pas la parabole:
x²/100 - x + 100

sinon, si tu sais nous afficher le graphe qui montre la courbe de -90 degrés à +90 degrés

non la fonction de probabilité n'est pas une parabole, comme je l'ai indiqué plus haut, il s'agit d'une fonction affine passant par les points (0;1/100) et (200;0) en s'exprimant en grades. Entre 0 et 200, l'aire sous la courbe est bien égale à 1

[beagle]

c'est curieux parce que si on reprend mes probas d'hier on trouve
une équation en degré cette fois
x²/180 - x + 90

cette équation donne les bonnes valeurs aux extrémités de 0 à 90 degrés
et curieusement intégrale de 0à 90 de cette parabole vaut 5400
Et 5400/90 = 60
la courbe étant symétrique , j'ai 60 de l'autre coté,
cela reste à 60 de moyenne sur les 180 degrés.

j'y pige plus rien à ton affine, mince alors!

PS:On ne doit pas parler de la mème chose.
Perso c'est la fonction de la moyenne espérée de l'écart en fonction de x , angle d'un premier vecteur.
Et toi tu dois avoir une autre fonction j'imagine.

m'enfin il me semble bien retomber sur la bonne réponse, non?