Conditions aux bords et séparation de variables

[Mathusalem]

Bonjour,

Une question relative à mon dernier post dans cette section.

Soit l'équation-différentielle suivante (Dynamique de poutre)



où et

et comme conditions au bord

1.
2.

qui représente une poutre fixée horizontalement à un exciteur harmonique d'un côté (en x=0), et libre de l'autre (en x=L).

La procédure classique serait la séparation de variables, en supposant que , ce qui mène à



Cette procédure n'est pas toujours applicable lorsque les conditions aux bords dépendent du temps, comme il est évident dans mon cas. En effet, l'équation devant être satisfaite pour tout x et pour tout t, est une constante. Or, de la condition aux bords on déduit que et ceci entraîne




et donc j'ai un problème, car ceci ne peut être satisfait pour tout t, sans poser des contraintes sur ce qui n'a aucun sens.

Ma question: est-ce qu'il est légitime de passer en complexe, en résolvant pour et la condition au bord 1. ?
J'aurais ainsi effectivement l'égalité et pourrais continuer.

[Mathusalem]

J'ai mis la question sur le stackexchange, et là-bas aussi aucune réponse.

Est-ce que ce que je demande n'est pas clair ?

[mathelot]

oui, c'est légitime. :doh:

Le champ complexe interagit avec les réels, même quand on
travaille exclusivement avec les réels, et très certainement
les dimensions supérieures interagissent également

exemple 1


le rayon de convergence de la série réelle est 1, à cause du pole

exemple 2
l'équation
admet la racine
racine réelle obtenue en travaillant dans le champ complexe.

Donc si ta solution est la partie réelle d'une quantité complexe,
tant mieux, d'autant que tu peux complexifier tes e.v,
s'ils sont de dimension paire et que tu disposes d'un opérateur T tel que


exemple 3
La sphère unité des quaternions donne des identités remarquables avec les carrés
de quantités réelles.

en espérant ne pas avoir écrit trop d'énormités.

[Mathusalem]

Merci de la réponse Mathelot.

Je ne crois pas que ce soit si simple que cela dans mon cas. Je suis bien conscient de ce que tu écris, mais ce qui me dérange dans mon cas est le raisonnement suivant :

1. J'ai une équation différentielle linéaire à dérivées partielles.
2. J'applique la méthode de séparations de variables qui suggère que je peux trouver une solution de la forme w(x,t) = X(x)T(t)
3. Je me rends compte qu'avec ma condition de bord harmonique, je ne peux pas appliquer la méthode de la séparation de variables.

Me rendant compte du fait décrit au point 3, il me semble que je dois conclure qu'avec ma condition de bord, il n'y a pas de solution qui puisse s'écrire de manière factorisée dans les deux variables x et t (ce raisonnement est-il faux ?). Cependant, si je passe tout le problème en complexe, ma condition de bord ne pose pas de problème puisqu'elle mène à une constante complexe et donc je peux continuer. En revanche, la partie réelle de ma fonction complexe sera aussi de forme factorisée X(x)*T(t), mais je viens de voir que dans le domaine réel, une telle solution n'existe pas (?).
C'est pourquoi je suis suspicieux quant au fait de dire que dans ce procédé, la partie réelle de la solution complexe correspond à la solution de mon problème de départ.

[Skullkid]

Salut, une solution complexe peut être séparable sans que sa partie réelle le soit.

Normalement tu devrais t'en sortir en passant en Fourier et en fixant d'office la fréquence de ta solution à . En gros tu cherches une solution en onde plane , tu injectes dans ton équation pour obtenir une relation de dispersion , tu en sors les 4 racines complexes et il te reste à résoudre le système de tes conditions initiales en les complexes pour obtenir ta solution sous la forme , dont tu peux prendre la partie réelle à la fin.

[Mathusalem]

Salut, une solution complexe peut être séparable sans que sa partie réelle le soit.

Ok j'ai pas assez réfléchi, il me semblait le contraire à priori.

Normalement tu devrais t'en sortir en passant en Fourier et en fixant d'office la fréquence de ta solution à . En gros tu cherches une solution en onde plane , tu injectes dans ton équation pour obtenir une relation de dispersion , tu en sors les 4 racines complexes et il te reste à résoudre le système de tes conditions initiales en les complexes pour obtenir ta solution sous la forme , dont tu peux prendre la partie réelle à la fin.

En effet j'en suis là. J'ai pas procédé philosophiquement de la même manière mais c'est pareil. Mais j'avais un doute quant à dire qu'effectivement j'étais entrain de résoudre le même problème.

Merci des réponses