Dilution continue

[jazrael]

Bonjour,


De mémoire, la difficulté de ce problème correspond à une terminale scientifique ou un début d'études supérieures (en tout cas à mon époque, c'est-à-dire il y a plus de 30 ans).

Voilà le problème. Soit une pièce de 4 x 3 x 2,5 m, soit 30 m3. Elle contient de l'air, dont on va simplifier la composition : 21 % d'O2 et 79 % de N2.

Des bouteilles d'azote (N2) sous pression sont stockées dans la pièce, et elles fuient. Comme la pièce n'est pas étanche, le gaz de la pièce va sortir au fur et à mesure que l'azote fuie des bouteilles.

Le problème est de calculer la concentration fractionnaire FO2f de l'O2 en fonction du nombre de litres d'azote qui sont sortis des bouteilles.

Je propose les notations suivantes :

V : volume de la pièce

VN2 : volume d'azote s'étant échappé des bouteilles

FO2i : concentration fractionnaire de l'O2 initiale (ici, 21 %)

FO2f : concentration finale (après la fuite)

FO2 : concentration en O2 à un instant t

En fait, j'ai la solution. Si on exprime le problème autrement, on peut déterminer la quantité d'azote VN2 nécessaire pour faire passer la FO2 de FO2i à FO2f. On a :

VN2 = V x Ln(FO2i/FO2f).

où Ln est le logarithme népérien.

Par exemple, pour notre pièce de 30 m3, pour faire passer la FO2 de 21 à 10 %, il faudrait que la fuite d'azote soit de 22,258 m3.

Mon problème, c'est de retrouver la démonstration. Je sais que je dois à un moment donné intégrer une fonction de type 1/x pour arriver à un logarithme népérien, mais impossible de retrouver le raisonnement.

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci.

[jazrael]

Bonjour,


Bon, après quelques jours, mon message a attiré une soixantaine de consultations mais pas de réponses. En fait, je viens de retrouver la démonstration, je l'avais notée ailleurs à propos d'un problème similaire.




Voilà le problème. Soit une pièce de 4 x 3 x 2,5 m, soit 30 m3. Elle contient de l'air, dont on va simplifier la composition : 21 % d'O2 et 79 % de N2.

Des bouteilles d'azote (N2) sous pression sont stockées dans la pièce, et elles fuient. Comme la pièce n'est pas étanche, le gaz de la pièce va sortir au fur et à mesure que l'azote fuie des bouteilles.

Le problème est de calculer la concentration fractionnaire FO2f de l'O2 en fonction du nombre de litres d'azote qui sont sortis des bouteilles.

Je propose les notations suivantes :

V : volume de la pièce

VN2 : volume d'azote s'étant échappé des bouteilles

FO2i : concentration fractionnaire de l'O2 initiale (ici, 21 %)

FO2f : concentration finale (après la fuite)

FO2 : concentration en O2 à un instant t



Je vais inverser le problème : quel est le volume d’azote VN2 qui doit fuir des bouteilles pour que la FO2 passe de FO2i à FO2f ?

Si l’échange se fait en une fois (on retire un volume d’air et on le remplace par un volume d’azote, on a :

VN2 = V x (FO2i - FO2f)/FO2i


Par exemple, on retire 15 m3 d’air et on remplace par 15 m3 d’azote, il y aura dans la pièce 15 m3 d’air et 15 m3 de N2 et donc la concentration en O2 sera divisée par 2.

Or dans la réalité, l’échange ne se fait pas en une fois mais en continu, la FO2 diminue au fur et à mesure que l’azote fuit des bouteilles, et donc on perd de moins en moins d’O2.



Mais alors, comment calculer ? On dispose d'une donnée essentielle : quel que soit le moment que l'on considère, la FO2 du gaz qui quitte la pièce est égal à la FO2 de la pièce à cet instant.

Nommons FO2 la concentration en O2 à un instant t. On a :

dVN2/dFO2 = V/FO2



V = VN2 x (intégration de dFO2/FO2 de FO2i à FO2f)

Désolé, je n'ai pas les symboles pour écrire des maths.

dFO2/FO2, c'est 1/FO2 x dFO2.

Pour résoudre l'intégrale, il faut remplacer la fonction par une primitive, c'est-à-dire une fonction qui une fois dérivée sera 1/FO2. Il s'agit de la fonction logarithme népérien (Log). On a donc :

VN2 = V x [Log(FO2)] de FO2i à FO2f donc

VN2 = V x (Log(FO2i) - Log(FO2f)] oui plus simplement :

VN2 = V x Log(FO2i/FO2f)

Attention, c'est le logarithme népérien (ou naturel) et pas le logarithme décimal.



On peut s’amuser à comparer la bonne façon de calculer et la mauvaise (où on considère qu’on enlève un volume de la pièce pour le remplacer par de l’azote).


En fait, les résultats sont assez proches pour des petites quantités d’azote. Ils diffèrent quand le volume de gaz échangé est important en proportion par rapport au volume de la pièce.

Par exemple, pour 10 L échangés en une fois, il restera 14 % d’O2 dans la pièce, alors qu’il restera 15 % si l’échange se fait en continue.

Pour 15 L, on aura 12,7 % si l’échange est continu et 10,5 % si l’échange se fait en une fois.

Pour 20 L, on aura 7 % pour un échange en une fois et 10,8 % si l’échange est continu.

Pour 25 L, on aura 3,5 % pour un échange en une fois et 9,1 % si l’échange est continu.

Pour 30 L, si l’échange se faisait en une fois, il ne resterait plus d’O2 dans la pièce, alors que si l’échange est continu, il resterait 7,7 % (la concentration initiale divisée par e, ou 2,718).

P.S. : pour répondre à la question initiale qui consistait à calculer FO2f, il suffit de reprendre la formule donnant VN2 :


VN2 = V x Log(FO2i/FO2f)


FO2f = e^((V. Ln(FO2i)-VN2)/V)