Nombres ordinaux

[nodjim]

Bonjour,
Ce fil fait suite à celui de Robic sur l'infini. Intéressé par ces questions, je me suis penché sur les ordinaux. Le premier ordinal infini nommé w0 est la limite de l'ensemble N. Voici ma question (l'article sur Wikipédia ne précise rien sur cet aspect):
Habituellement, en analyse, la limite d'une fonction f(x) en un x donné est caractérisée par le fait qu'un epsilon aussi proche qu'on veut de la limité sera atteint par f(x). Pour le w0, limite de N, cela signifierait qu'il existe un n entier aussi proche qu'on veut de l'infini qui sera atteint par N. Que n appartienne à N ne fait aucun doute, mais qu'un tel n puisse approcher w0 semble plus difficile à concevoir. Comment justifier donc l'existence même de w0 ?
J'espère que ma question est assez claire.

[Monsieur23]

Aloha,

Normal que tu n'y arrives pas … omega_0 existe "simplement" grâce à l'axiome de l'infini (qui dit en gros qu'il existe un plus petit ensemble contenant vide, et stable par successeur).

Cf http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27infini pour plus de détails

[nodjim]

Merci Monsieur23, mais je crois que ma question n'a pas été comprise, je l'ai mal exprimée. Ce n'est pas l'existence de w0 en tant qu'ordinal infini qui me pose problème, mais la valeur minimale qu'on lui attribue. Tel que les ordinaux sont présentés, l'ordinal infini commence ou finissent les ordinaux finis. ça me parait tout à fait normal. En revanche, le caractère minimaliste de l'ordinal infini est flou. En effet, w0-1 existe, même s'il est égal à w0. Aussi j'aurais aimé qu'on m'en dise un peu plus sur cet aspect, qui n'est pas développé dans la présentation de wikipédia.

[Doraki]

l'ordinal infini commence ou finissent les ordinaux finis

je suis pas sûr de comprendre ce que tu veux dire.


Il y a 2 types d'ordinaux.
Les ordinaux successeurs (ce qui s'écrivent a u {a} pour a un ordinal, par exemple 1,2,3,...)
Les ordinaux limites (qui sont la réunion de leurs éléments, par exemple 0 (et qui sont non vides apparemment))
(moi je classerais bien 0 comme un ordinal limite mais apparemment wikipedia dit qu'il est à part)

Bien que le mot utilisé, "limite", est le même, il ne faut pas forcément chercher à voir un rapprochement avec les limites en topologie.

En revanche, le caractère minimaliste de l'ordinal infini est flou. En effet, w0-1 existe, même s'il est égal à w0.

Tu es en train d'inventer une soustraction de toutes pièces ?
On lit bien la même page ? https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_ordinal

Ce genre de notation est risqué quand l'addition n'est même pas commutative...
Bon oui 1+;)0 = 0, et d'ailleurs 1+x = x pour n'importe quel ordinal infini.
D'ailleurs ça ne veut pas dire que 0 est le successeur de 0. (c'est 0+1 son successeur)
Je vois pas trop où tu veux faire un rapport avec le caractère minimaliste de 0.

Par contre tu peux montrer que si x est un ordinal infini alors il contient tous les entiers (si il y avait un entier qu'il ne contenait pas alors il serait inclus dans cet entier et donc fini) et donc 0 est inclus dans x par définition de 0. Et donc 0 <= x. Je sais pas ce que tu veux de plus.

(d'ailleurs tu peux faire le même genre de truc et prendre la réunion de tous les ordinaux dénombrables pour obtenir le plus petit ordinal non dénombrable, et ainsi de suite pour pas mal de cardinalités)

[nodjim]

Merci Doraki.
J'ai bien noté, évidemment, dans l'arithmétique des ordinaux que la soustraction n'était pas mentionnée. Ce qui me chagrine justement dans cette description de w0, c'est qu'il est posé comme le plus petit ordinal infini. Je suis entièrement d'accord pour dire qu'après le w0, on trouve facilement w1, w2,...par la simple addition w0+1, w0+2 (autre écriture d'une inclusion si on parle d'ensembles). Poser w0 comme la limite des ordinaux finis (entiers) c'est OK aussi. En revanche, je me pose vraiment des questions sur le fait qu'il existe un w0 tel que les ordinaux finis l'atteindront.
Tu as bien mentionné la distinction entre ordinaux successeurs et ordinaux limites. Or un ordinal limite (infini) n'est il pas "atteint" par une infinité d'ordinaux successeurs ? La loi de succession est la seule qui construit l'ensemble des ordinaux. L'ensemble des ordinaux ne se construit pas sans elle (on ne parle pas d'ensemble, mais de classe). Aussi je n'arrive pas très bien à faire le raccord intellectuel entre la fin des ordinaux finis et w0. En gros, je dis: pour accéder à w0, il faut passer par une infinité d'ordinaux (successeurs) et que donc l'infini est atteint avant w0. Donc, on peut trouver plus petit que w0, pourtant posé comme le plus petit infini. Paradoxe.
L'article ne donne pas de clé pour ce passage délicat.

[nodjim]

Je n'avais pas bien noté ta dernière phrase:
"d'ailleurs tu peux faire le même genre de truc et prendre la réunion de tous les ordinaux dénombrables pour obtenir le plus petit ordinal non dénombrable"
Celle là, ben, elle me chagrine beaucoup.

[Doraki]

Si on suit le lien de wikipedia, l'axiome de l'infini dit qu'il existe un ensemble I contenant 0 et stable par successeur.

Avec ça tu peux prendre l'intersection des parties de I qui contiennent 0 et qui sont stables par successeur, tu l'appelles N.

(du coup maintenant "être un entier" veut dire être dans ce N. Pour peu que ton modèle de la théorie des ensembles soit pas trop bizarre, ça correspond à l'idée qu'on se fait des entiers naturels)

Ensuite tu montres que N est un ordinal. Le truc principal est dire que {x de I / x est un ordinal} contient 0 et est stable par successeur, donc N est inclus dedans, et après c'est pas super dur (mais c'est pas super intéressant)

Ensuite tu peux définir fini comme "ne pouvant pas être en bijection avec une des ses parties strictes", et tu peux montrer que tous les éléments de N sont "finis" de même "par récurrence" en disant que {x de I / x est un ordinal fini} contient 0 et est stable par successeur et donc N est inclus dedans.

N, lui, est infini parceque tu as une bijection successeur de N dans N privé de 0.

Ensuite, si A est un ordinal, d'après wikipedia, A A est un élément de N, ce qui implique que A est fini. Donc N est bien le plus petit ordinal infini.

En revanche, je me pose vraiment des questions sur le fait qu'il existe un w0 tel que les ordinaux finis l'atteindront.

Définis "atteindre". Ca me rappelle la fois où tu nous disait que la courbe de peano ne "remplissait" pas le carré sans vouloir nous dire ce que "remplir" veut dire.

Pour "accéder" à 0, on passe par l'axiome de l'infini.
Ensuite une fois qu'on a N on peut construire plein de cardinaux (2^N, 2^2^N, etc) et donc plein plein d'ordinaux de cardinaux super grands.
(et il y a d'autres axiomes du même genre dits des grands cardinaux, qui permettent d'en construire encore plus)

En gros, je dis: pour accéder à w0, il faut passer par une infinité d'ordinaux (successeurs) et que donc l'infini est atteint avant w0.

traduction mathématique de ce charabia ?

[nodjim]

OK, merci. Je vais essayer de digérer ça.