Algèbre linéaire : Bases, sevs supplémentaires

[Jamdaw]

Bonjour, je sollicite votre aide pour résoudre cet exercice, je l'ai fait complètement, mais j'ignore si mon résultat est bon. J'ai l'impression que mon raisonnement tient la route, mais je ne suis pas certaine.

Soit, on note :
et

Donner une base de F et G et préciser leur dimension. Montrer aussi que E=F+*G
(+*=somme directe)

Ma réponse :
On veut une base de F

Soit ,





Donc


Par identification, on a
a=a
b=0
b=c
c=0

Donc
est une base de F


On veut une base de G.
Là ça se complique un peu, G est défini par P(1)=P(2),
[COLOR=DarkGreen] l'égalité n'est vraie que pour un polynôme nul ?
Je ne sais pas si on parle du même polynome P dans G et dans F, mais j'ai supposé que c'était le cas, sinon on l'aurait appelé Q ou autres.
Donc j'ai
P(1)=a + b + c
P(2)=4a + 2b + c
Par identification
a=4a, vrai si a=0
b=2b, vrai si b=0
c=c, vrai pour tout c

Est-ce que G=Vect(P(1))=Vect(P(2)) ?
Du coup, on aurait dim(G)=dim(P(1))
Or P(1) est une constante, donc de dimension 1 ?
On veut montrer que F+*G=E
F et G sont tous deux des sev de E. Donc une base de F est aussi une base de E, idem pour G ?
Du coup, si les bases de F et G sont aussi des bases de E, on peu dire que F et G sont supplémentaires, donc que leur intersection est nulle ?
dim(R^3)=3
et . Donc est une base,
Donc F et G sont supplémentaires
[/COLOR]

J'attends de lire vos corrections , et merci d'avance !

[Jamdaw]

Il n'ya rien a redire ?

[chan79]

Là ça se complique un peu, G est défini par P(1)=P(2),
l'égalité n'est vraie que pour un polynôme nul ?
Je ne sais pas si on parle du même polynome P dans G et dans F, mais j'ai supposé que c'était le cas, sinon on l'aurait appelé Q ou autres.
Donc j'ai
P(1)=a + b + c
P(2)=4a + 2b + c
Par identification
a=4a, vrai si a=0
b=2b, vrai si b=0
c=c, vrai pour tout c
!

salut
si P(x)=-x²+3x+k (k quelconque)
tu as:
P(1)=P(2)=2+k

[Jamdaw]

Ah mince, du coup, il manque des choses alors si l'égalité est vraie pour un polynome quelconque. Mais dans tous les cas, P(1) est une constante, non ? Et au niveau de la dimension, dim(P(X))=1 aussi non ?

[chombier]

Pour la 1 : presque parfait sauf que dim(F)=dim(Vect(X^2))=1

Pour la 2 : si P=aX^3+bX^2+cX+d,

P(1)=a+b+c+d
P(2)=8a+4b+2c+d
P(1)=P(2) ssi 7a+3b+c = 0

G = {aX^3+bX^2+cX+d, (a,b,c,d) dans R^4, 7a+3b+c = 0 }

Donc dim G = 3

Pour une base de G, il faut encore bosser :)

[chan79]

Ah mince, du coup, il manque des choses alors si l'égalité est vraie pour un polynome quelconque. Mais dans tous les cas, P(1) est une constante, non ? Et au niveau de la dimension, dim(P(X))=1 aussi non ?

Pose P1(X)=1
Cherche a pour que P2 tel que P2(X)=X²+aX soit un élément de G.
Cherche b pour que P3 tel que P3(X)=X³+bX soit un élément de G.

[chombier]

Ah mince, du coup, il manque des choses alors si l'égalité est vraie pour un polynome quelconque. Mais dans tous les cas, P(1) est une constante, non ? Et au niveau de la dimension, dim(P(X))=1 aussi non ?

"dim(P(X))=1" n'a aucun sens, P(X) n'est pas un espace vectoriel

[chombier]

Pour la 1 : presque parfait sauf que dim(F)=dim(Vect(X^2))=1

Pour la 2 : si P=aX^3+bX^2+cX+d,

P(1)=a+b+c+d
P(2)=8a+4b+2c+d
P(1)=P(2) ssi 7a+3b+c = 0

G = {aX^3+bX^2+cX+d, (a,b,c,d) dans R^4, 7a+3b+c = 0 }

Donc dim G = 3

Pour une base de G, il faut encore bosser

G = {aX^3+bX^2+cX+d, (a,b,c,d) dans R^4, 7a+3b+c = 0 }

G = {aX^3+bX^2+(-7a-3b)X+d, (a,b,c) dans R^3 }

Une base de G est : (1, X^2-3X, X^3-7X)

[chombier]

Donc j'ai
P(1)=a + b + c
P(2)=4a + 2b + c
Par identification
a=4a, vrai si a=0
b=2b, vrai si b=0
c=c, vrai pour tout c

Tu ne peux pas identifier a + b + c et 4a + 2b + c, ce sont deux réels, pas deux polynomes.

Tu sais juste que a + b + c et 4a + 2b + c, soit 3a+b = 0 (ce qui est une équation linéaire)

[Jamdaw]

Merci Chombier et Chanpour votre aide !