Algèbre linéaire et polynômes

[Jamdaw]

Bonsoir , voilà un autre exercice que j'ai tenté de résoudre, mais je ne suis pas arrivée à trouver de piste pour la question 4. Pour le reste, j'ai essayé, pouvez vous infirmer/confimer mes réponses ?


EXERCICE 2
Soit
On note :


Question 1 : Donner le degré et le coefficient dominant de u pour {0,1,2,...,n} (Attention à k=0...)
Question 2 : Montrer que u est linéaire puis que
Question 3 : Déterminer ker(u), en déduire la dimension de Im(u)
Question 4 : Donner une base de Im(u)

Ma réponse :

1)
Pour k=0 , degré 0, coefficient dominant 1
Pour k=n, degré n, coefficient dominant


2) Montrons que u est linéaire.
Soient P, Q vérifiant et et ,
Calculons u(a P) + u u(Q(X)) [/TEX]?
u( P+Q)
= (P+ Q)(X +1);)(P+Q)(X)
= (P(X +1);)P(X)) + (Q(X +1);)Q(X))
= u(P) + u(Q).
Donc u est une application linéaire.


u u est un endomorphisme image de
Or l'image de est, son antécédant est . Pour que u soit un endomorphisme, il faut . Ce qui est le cas d'après l'énoncé, donc

3) Cherchons le noyau de u, ker(u).

u(P(X)) = 0
P(X+1)-P(X)=0
P(X+1)=P(X)
On aura alors un polynôme constant, donc ker(u)={polynomes constants} il faudrait que je prouve que le polynome solution est constant Et nul ?


D'après le théorème du rang,
or
donc
donc


4) On veut une base de Im(u)
on veut Im(u)=Vect(...)
Dans ces cas là, on doit résoudre l'équation donnée par l'énoncé. Mais je ne vois pas le système équivalent..

[Jamdaw]

Je rajoute une question, est-ce que tous les polynomes constants sont de dimension 1 et donc, leur ensemble est encore de dimension 1 ? Si c'est le cas, ça pourrait me donner une réponse pour dim(Im(u)) qui du coup serait dim(Im(u))=n

[zygomatique]

salut

incompréhensible ...

donc

: quel est le coefficient dominant de ce polynome ?

[Jamdaw]

Le coefficient dominant serait 1 ?

Qu'est-ce qui n'est pas clair dans ce que j'ai écris ?

[zygomatique]

P est un polynome !!!

u(P)(x) = P(x + 1) - P(x) ....

u(P) = Q <=> Q(x) = P(x + 1) - P(x)

[Jamdaw]

P est un polynome !!!

u(P)(x) = P(x + 1) - P(x) ....

u(P) = Q Q(x) = P(x + 1) - P(x)

Oui, P est un polynôme, je suis d'accord avec ce que vous écrivez. Ce qui vous semble évident, je ne le vois pas. Ou voulez vous en venir ?

[Jamdaw]

En réflechissant un peu,
-
= - (puisqu'on a des polynomes P(X) = a = )
=
= là, il me manque un indice k au niveau du a pour obtenir la forme d'un polynôme dérivé. Et je sais que le coefficient dominant d'un polynôme dérivé est
Donc à la question 2, le coefficient dominant que l'on me demande est et pas comme je l'avais dit, c'est ça ?