Distance dans un repère orthogonal

par **steph** » 19 Mar 2015, 18:01

bonjour
je me pose une question de niveau TS
pour calculer une distance dans un repère orthogonal et pas orthonormé
je décompose un vecteur u suivant les vecteurs i et j ainsi vect u = x vect i + y vect J
je mets tous ça au carré et en utilisant le produit scalaire j'obtiens
norme u ² = x² norme i ² + y² norme j ²
puisque i et j sont des vecteurs unitaires je devrais avoir norme i = norme j = 1
mais ce qui cloche c'est que le repère n'est pas normé.
pouvez vous m'aider svp

par **Skullkid** » 19 Mar 2015, 18:29

Bonjour, si ton repère est orthogonal mais pas orthonormé, alors tes vecteurs de base (i et j) ne sont pas unitaires, et la formule u² = x²i² + y²j² que tu as donnée est valide. Où est le problème ?

par **steph** » 19 Mar 2015, 18:33

si mon repère est orthogonal, je peux qd même graduer 1 au "bout" de i et idem pour j.
mais alors norme i = norme j = 1
du coup ça ne fonctionne pas..

par **Skullkid** » 19 Mar 2015, 18:53

steph a écrit:si mon repère est orthogonal, je peux qd même graduer 1 au "bout" de i et idem pour j.
mais alors norme i = norme j = 1

Oui, et donc dans ce cas tu as un repère orthonormé. Si tu veux un repère seulement orthogonal, au moins l'un de tes vecteurs de base doit ne pas être unitaire.

par **mathafou** » 19 Mar 2015, 22:01

Bonjour,

Skullkid a écrit:Oui, et donc dans ce cas tu as un repère orthonormé. Si tu veux un repère seulement orthogonal, au moins l'un de tes vecteurs de base doit ne pas être unitaire.

c'est de la bouillie pour chat

par définition dans tout repère, orthonormé ou pas, les vecteurs unitaires sont ... unitaires

la confusion vient que "intuitivement", de façon implicite, on considère en vrai deux repères différents

le repère défini par i et j pas forcément orthonormé
et un repère "absolu" sous jacent, orthonormé, qui définit profondément l'espace Euclidien

alors on peut parler de la norme des vecteurs i et j du repère "quelconque" en les "mesurant" dans le repère sous jacent orthonormé.
dans lequel dans ce repère là, la définition de la distance Euclidienne a un sens.
alors que en fait la "distance" dans un repère pas orthonormé n'a réellement aucun sens,
ou plus précisément le sens qu'on veut lui donner.
s'il s'agit de la distance non pas dans ce repère là mais dans le repère Euclidien sous jacent, OK
sinon c'est simplement des âneries.

par **chombier** » 20 Mar 2015, 00:18

Dans un repère quelconque, pour calculer la norme d'un vecteur

, le plus simple est le produit scalaire :

Si le repère est orthogonal,

, donc

Si le repère est orthonormé,

,

, donc

En gros si tu connais la norme de i, la norme de j, et leur produit, tu peux calculer la norme de n'importe quel vecteur à partir de ses coordonnées dans le repère (i, j)

par **chombier** » 20 Mar 2015, 00:20

steph a écrit:bonjour
je me pose une question de niveau TS
pour calculer une distance dans un repère orthogonal et pas orthonormé
je décompose un vecteur u suivant les vecteurs i et j ainsi vect u = x vect i + y vect J
je mets tous ça au carré et en utilisant le produit scalaire j'obtiens
norme u ² = x² norme i ² + y² norme j ²
puisque i et j sont des vecteurs unitaires je devrais avoir norme i = norme j = 1
mais ce qui cloche c'est que le repère n'est pas normé.
pouvez vous m'aider svp

Si le repère n'est pas normé, les vecteurs ne sont pas unitaires, par définition

par **Skullkid** » 20 Mar 2015, 02:18

mathafou a écrit:Bonjour,

Skullkid a écrit:Oui, et donc dans ce cas tu as un repère orthonormé. Si tu veux un repère seulement orthogonal, au moins l'un de tes vecteurs de base doit ne pas être unitaire.

c'est de la bouillie pour chat

par définition dans tout repère, orthonormé ou pas, les vecteurs unitaires sont ... unitaires

Quelle bouillie pour chat ? Un repère est normé si et seulement si sa base est formée de vecteurs normés (unitaires). Qu'il existe des vecteurs unitaires dans un repère non normé n'a rien à voir avec le schmilblick.

Il n'y a absolument pas besoin d'invoquer un deuxième repère. Et il est tout à fait possible de parler de distance (et même de distance euclidienne) dans un repère non orthonormé (et même non orthogonal)...

par **chombier** » 20 Mar 2015, 08:30

Skullkid a écrit:Quelle bouillie pour chat ? Un repère est normé si et seulement si sa base est formée de vecteurs normés (unitaires). Qu'il existe des vecteurs unitaires dans un repère non normé n'a rien à voir avec le schmilblick.

Il n'y a absolument pas besoin d'invoquer un deuxième repère. Et il est tout à fait possible de parler de distance (et même de distance euclidienne) dans un repère non orthonormé (et même non orthogonal)...

Et même sans repère

par **Skullkid** » 20 Mar 2015, 14:30

chombier a écrit:Et même sans repère

Tout à fait ^^

Distance dans un repère orthogonal

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