Suite et série

[Joker62]

Hello,

Charles Torossian nous livre un petit tweet sympa :

Soit une suite décroissante strictement positive.
Montrer que la série de terme général a une somme plus grande que 4.

J'ai une partie de preuve mais il manque un bout.
Quelqu'un a une piste ?

[Doraki]

Soit il manque une hypothèse, soit toutes ces séries divergent.

en prenant xn = ;)/n² avec ;) suffisemment petit ça doit être un contre-exemple

[Joker62]

Est-ce que l'on ne considère pas que si une série diverge vers +;) alors sa somme est plus grande que 4 ?

J'ai trouvé quelques (x_n) pour lesquels ça convergeait.

décroit et tend vers 0.

et

De façon générale, ça marche pour tout les x_n de la forme avec a > 1 et dans ce cas :



et comme par hasard la fonction f(x) = x^2/(x-1) admet 4 comme minimum sur ]1;+;)[ donc j'me pose certaines questions

Edit : Remplacement n par +;) dans la somme.

[Doraki]

Et avec (xn) = (1/2)^n / 1000000 ?

[Doraki]

Tu as du oublier l'hypothèse x0=1 ?

Si la borne inférieure des séries est Lx0,
alors Lx0 = inf pour (0 < x1 <= x0) de x0²/x1 + Lx1 = x0 * inf de (x0/x1 + L x1/x0)

Donc L = inf pour (0 < u <= 1) de (1/u + Lu)
Le minimum est atteint en u = 1/sqrtL si L > 1, et en u=1 sinon.

Donc soit L > 1 et alors L = 2sqrt(L), et donc L = 4 (pour lequel u=1/2 et donc le seul moyen d'obtenir 4 est alors de prendre la suite (1/2)^n )
soit L <= 1 et alors L = L+1, ce qui est impossible.

[Joker62]

Merci pour la réponse.

Donc en effet, il faut ajouter x0 = 1 sinon ça pose problème.

Merci pour la démo ;)

[rog974]

Tu as du oublier l'hypothèse x0=1 ?

[COLOR=DarkRed]Si la borne inférieure des séries est Lx0,
alors Lx0 = inf pour (0 1, et en u=1 sinon.

Donc soit L > 1 et alors L = 2sqrt(L), et donc L = 4 (pour lequel u=1/2 et donc le seul moyen d'obtenir 4 est alors de prendre la suite (1/2)^n )
soit L <= 1 et alors L = L+1, ce qui est impossible.

Bonsoir, j'ai du mal à saisir la phrase que j'ai colorée. Je dois sans doute passer à côté des notations.

Merci par avance.