Qui, s'il n'ya pas d'erreur est
On me demande de trouver un expression simple de
En remplaçant X par n, et en identificant que
Mais ça m'as paru bien trop "évident", est-ce que quelqu'un peut m'orienter ?
Décomposition en éléments simples, question 2
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Décomposition en éléments simples, question 2
par Harmonie » 04 Mar 2015, 16:08
Après avoir trouvé la DES de  = \frac{3X^2 - 1} { (X-1)^2X^2(X+1)^2})
Qui, s'il n'ya pas d'erreur est =\frac{2}{X-1}+ \frac{1}{2}\frac{1}{(X-1)^2}-\frac{1}{X^2}-\frac{2}{X+1}+\frac{1}{2}\frac{1}{(X+1)^2})
On me demande de trouver un expression simple de^2n^2}$)
En remplaçant X par n, et en identificant que^2(X+1)^2 = (X^2-1)^2X^2)
, je vois bien que les termes de la somme, sont enfait ceux de ma DES. Du coup, je me suis dis que puisqu'on me dis de déduire, ça ne doit pas chercher bien loin, et donc
= ^2}-\frac{1}{n^2}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{2}\frac{1}{(n+1)^2}$)
Mais ça m'as paru bien trop "évident", est-ce que quelqu'un peut m'orienter ?
Qui, s'il n'ya pas d'erreur est
On me demande de trouver un expression simple de
En remplaçant X par n, et en identificant que
Mais ça m'as paru bien trop "évident", est-ce que quelqu'un peut m'orienter ?
par Robic » 04 Mar 2015, 16:17
Bonjour ! Ne serait-ce pas une somme télescopique ? C'est assez classique avec ce genre de question. D'ailleurs en regardant l'expression je constate que c'est bien le cas.
Pour le voir, remplace
^2}-\frac{1}{n^2}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{2}\frac{1}{(n+1)^2})
par
^2} -\sum_{n=2}^{N} \frac{1}{n^2} - 2\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n+1} + \frac{1}{2}\sum_{n=2}^{N} \frac{1}{(n+1)^2})
et regroupe les sommes qui se ressemblent.
Indication : ces cinq sommes donnent deux télescopages. L'un des télescopages est évident, l'autre est peut-être plus difficile à voir (ou pas).
(PS : je crois que tu as mis des '$' inutiles dans tes formules, qui ont pour effet d'écrire en ligne les indices et exposants des
, ce qui est moins lisible que comme j'ai fait (les balises [tex] suffisent).)
Pour le voir, remplace
par
et regroupe les sommes qui se ressemblent.
Indication : ces cinq sommes donnent deux télescopages. L'un des télescopages est évident, l'autre est peut-être plus difficile à voir (ou pas).
(PS : je crois que tu as mis des '$' inutiles dans tes formules, qui ont pour effet d'écrire en ligne les indices et exposants des
par zygomatique » 04 Mar 2015, 17:52
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
par Harmonie » 06 Mar 2015, 16:44
Bonjour !
Effectivement, j'ai mis des $ partout !
Alors je regroupe les termes qui se ressemblent :
^2} + \frac{1}{2}\sum_{n=2}^{N} \frac{1}{(n+1)^2}-\sum_{n=2}^{N} \frac{1}{n^2})
Ca c'est pas compliqué. Pour ce qui est de voir les télescopages.. Même celui que vous dites évident, Robic, je ne le vois pas. Est-ce que ceci peut marcher ?
)
)
 - (1+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{N+1})]=1 ?)
Mais pour^2} + \frac{1}{2}\sum_{n=2}^{N} \frac{1}{(n+1)^2})
j'ignore comment faire puisque ce n'est pas une différence, si c'était le cas, je pourrais utiliser le binôme de newton peut-etre mais non...
Sinon, on peut peut-etre écrire
^2}-\sum_{n=2}^{N} \frac{1}{n^2}<br />=\frac{1}{2}[1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{(N-1)^2}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{(N+1)^2}]<br />=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{4}+\frac{2}{9}+\frac{1}{(N-1)^2}+\frac{1}{(N+1)^2}))
Là, je reconnais quelque chose du type
^2}+\frac{1}{(N+1)^2})
mais(a+ib))
je ne suis pas sure que je doivent introduire des complexes dans cet exo :mur:
Zygomatique, je croyais qu'il fallait un post par question ?
Effectivement, j'ai mis des $ partout !
Alors je regroupe les termes qui se ressemblent :
Ca c'est pas compliqué. Pour ce qui est de voir les télescopages.. Même celui que vous dites évident, Robic, je ne le vois pas. Est-ce que ceci peut marcher ?
Mais pour
Sinon, on peut peut-etre écrire
Là, je reconnais quelque chose du type
mais
je ne suis pas sure que je doivent introduire des complexes dans cet exo :mur:
Zygomatique, je croyais qu'il fallait un post par question ?
par SLA » 06 Mar 2015, 17:33
Harmonie a écrit:Bonjour !
Effectivement, j'ai mis des $ partout !
Alors je regroupe les termes qui se ressemblent :
Ca c'est pas compliqué. Pour ce qui est de voir les télescopages.. Même celui que vous dites évident, Robic, je ne le vois pas. Est-ce que ceci peut marcher ?
Mais pour
Sinon, on peut peut-etre écrire
Là, je reconnais quelque chose du type
mais
je ne suis pas sure que je doivent introduire des complexes dans cet exo :mur:
Zygomatique, je croyais qu'il fallait un post par question ?
Si tu es à l'aise avec les changements d'indices, les télescopages viennent vite.
Par exemple dans
De même
J'espère que ça t'aidera.
par zygomatique » 06 Mar 2015, 17:50
je ne m'occupe pas des coefficients devant les sommes ...
un simple changement de variable (donc ici d'indice) permet d'écrire :
par soustraction il est aisé de voir ce qui reste ...
de même :
^2} = \sum_1^{N - 1} \ \dfrac 1{n^2})
^2} = \sum_3^{N + 1} \ \dfrac 1{n^2})
et comme tout nombre est le double de sa moitié il est aisé d'additionner les trois dernières sommes
....
:zen:
un simple changement de variable (donc ici d'indice) permet d'écrire :
par soustraction il est aisé de voir ce qui reste ...
de même :
et comme tout nombre est le double de sa moitié il est aisé d'additionner les trois dernières sommes
....
:zen:
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
par Robic » 06 Mar 2015, 18:30
Voilà, le deuxième télescopage est un peu plus compliqué parce qu'il fait intervenir trois termes.
Pour voir les télescopages, je recommande de développer (au brouillon) les sommes. par exemple :
On voit bien que tous les termes sont communs sauf deux aux extrémités. Ça aide aussi à deviner le changement d'indice.
Sinon, je crois qu'il est très utile d'avoir en tête que :
- Une somme
, c'est 
à un changement d'indice près.
- Une somme^2})
, c'est 
à un changement d'indice près.
(D'où l'idée de regrouper les deux sommes avec n-1 et n+1 d'une part, et les trois sommes avec les n² d'autre part.)
- Et de façon encore plus générale (on ne sait jamais, ça peut servir), une somme)
, c'est )
à un changement d'indice près.
Pour voir les télescopages, je recommande de développer (au brouillon) les sommes. par exemple :
On voit bien que tous les termes sont communs sauf deux aux extrémités. Ça aide aussi à deviner le changement d'indice.
Sinon, je crois qu'il est très utile d'avoir en tête que :
- Une somme
- Une somme
(D'où l'idée de regrouper les deux sommes avec n-1 et n+1 d'une part, et les trois sommes avec les n² d'autre part.)
- Et de façon encore plus générale (on ne sait jamais, ça peut servir), une somme
par Robic » 07 Mar 2015, 01:10
Tu n'as pas de termes en 
et en 
? Je viens d'essayer avec x=2, c'est toi qui as raison (la fonction de départ donne 11/36, ta décompostion donne 11/36, celle du premier message donne 59/36 sauf erreur de calcul). Donc la décomposition donnée au tout premier message semble être fausse (il faut juste virer les termes en trop, ça n'empêche pas la somme d'être télescopique).
Une petite remarque : quand on a trouvé une décomposition en éléments simples pas si simple que ça et que, de plus, les questions suivantes en dépendent, il faut à tout prix vérifier le résultat avec une valeur particulière (qui n'a pas été utilisée pour trouver la décomposition).
Une petite remarque : quand on a trouvé une décomposition en éléments simples pas si simple que ça et que, de plus, les questions suivantes en dépendent, il faut à tout prix vérifier le résultat avec une valeur particulière (qui n'a pas été utilisée pour trouver la décomposition).
par Harmonie » 11 Mar 2015, 16:14
Merci à tous, j'ai fini par m'en sortir et effectivement, ma DES était fausse...
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