Polynôme de Taylor

[Nardei]

Bonjour,

Je dois trouver le polynôme de Taylor au rang 2n+1 à 0 de .
Je sais que c'est une fonction qui se primitive pas, je pensais avoir contourné le problème en posant une fonction V(x) telle que sans la définir clairement, de manière à avoir f(x)=V(x)-V(0)
Du coup j'obtiens :
f(0)=0 très simplement
f'(0)=V'(0) qui tend vers 1
f’'(0) qui tend vers 0 de la même manière
Et f'''(0) qui tend vers -1
Ça commençait à rassembler à quelque chose de récurrent mais la dérivée quatrieme tend vers l'infini, je ne sais donc absolument pas quoi faire...

Merci d'avance !

[barbu23]

Bonsoir, :happy3:

D'abord, on remarque que : .
Ensuite, pour répondre à ta question, quel est le développement de Taylor de la fonction : au voisinage de : ?. C'est facile à trouver, si tu es familier avec les développements limités. ( Tu appliques un développement de Taylor de la fonction : au voisinage de , ensuite, tu divises par : ), après, il ne te reste qu'intégrer par : , en tenant compte du fait que : . :happy3:

Cordialement. :happy3:

[Nardei]

Merci beaucoup, je ne suis pas familier avec cette technique, je ne pensais pas que l'on pouvait simplement poser que si P(x) est le développement de Taylor de f(x) alors P(x)/x est celui de f(x)/x

[barbu23]

Non, de manière générale, on peut diviser une fonction , par au voisinage de , lorsque : .
On peut diviser par lorsque :
On peut diviser par lorsque :
... et ainsi de suite.
Ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_limit%C3%A9 , il y'a le développement limité au voisinage de : , de plusieurs fonctions y compris la fonction : . Tu peux remarquer, que cette fonction sinus est nulle en : , donc, on peut la diviser par au voisinage de : .
Cordialement. :happy3:

[Ben314]

Non, de manière générale, on peut diviser une fonction , par au voisinage de , lorsque : .

Ah bon ???
Et ça donne quoi si on divise (qui vérifie bien g(0)=0) par t ?
Et si on divise (qui vérifie bien g(0)=g'(0)=0) par ?

[barbu23]

Je n'ai pas compris ta question. :happy3:

[Robic]

Il me semble que les termes d'un polynôme de Taylor s'obtiennent en dérivant une fonction, et que c'est cette méthode que tu dois employer (surtout si tu n'as pas vu les développements limités - d'ailleurs en général on voit le développement de Taylor d'abord, et on l'utilise ensuite pour trouver les développements limités).

Or dériver la fonction définie par ne nécessite pas de calculer l'intégrale - probablement incalculable - puisque, par définition de l'intégrale, on sait que .

D'ailleurs c'est ta fonction V ! Ah mais oui, en fait tu as très bien commencé ! Disons que tu pouvais te passer de V et utiliser directement f.

Donc :
- f(0) = 0 ;
- f'(0) = 1 (la limite de sin x sur x) ;
ensuite c'est vrai qu'on aurait tendance à vouloir utiliser des développements limités pour trouver les formes indéterminées... (pour moi tout est indéterminé ensuite, même f'''(0)). Donc la méthode proposée par Barbu23 (d'abord chercher le développement de sin t / t) est probablement la bonne.

[barbu23]

@Ben860 :
Je sais dans quelle intention tu dis ça.
L'idée que j'ai évoqué ne vient pas du néant, mais vient d'un théorème en analyse complexe qui dit la chose suivante :
Il est noté dans un de mes pdf sur mon ordi : ( Je vous mettrai un lien dès que possible lorsque je le trouverai sur le net )
Le théorème dit :
Soit un domaine de et une fonction holomorphe non identiquement nulle. Soit un zéro de
Alors, il existe un unique entier : tel que : si et , et une fonction holomorphe vérifiant tels que :
L'entier est appeelé multiplicité du zero .

[Robic]

Tu compliques les choses inutilement, je trouve (les fonctions holomorphes sont des fonctions de la variable complexe, pas besoin d'elles ici). Ton idée s'explique bien à partir des développements de Taylor : si une fonction admet un tel développement et que, de plus, f(0) = f'(0), le premier terme du développement sera le terme en t², donc il me semble qu'en effet on pourra diviser par t² (et obtenir un terme constant).

Le point clé est sans doute le fait que la fonction admet un développement (ou est holomorphe si tu veux généraliser à C). J'imagine que ce n'est pas le cas dans les exemples de Ben314 (oui, une racine n-ème, ce n'est même pas dérivable en zéro...)

[barbu23]

Merci pour ces clarifications Robic. :happy3: