Équations paramétriques/cartésiennes plan R3

[babouchka31]

Bonjour à tous, alors voici mon problème je ne sais pas transformer une équation paramétrique en cartésienne d'un plan dans R3.

Voici l'exo qui pose soucis :

Soit le plan P : x+y+z=0
le plan Q: x=3+s ; y=1-t ; z=s
et la droite L, intersection de ces deux plans.

décrire l'équation paramétrique ET cartésienne de la droite L

l'équation paramétrée de L ne me pose pas de problèmes, j'injecte l'une dans l'autre et le tour est joué. Mais pour l'équation cartésienne, je sais qu'il faut 2 équations pour une droite dans R3 mais je ne sais comment trouver l'équation de Q.

Je vous remercie par avance. :)

[zygomatique]

salut

le plan Q est défini par :

x = 3 + 1s + 0t
y = 1 + 0s + (-1)t
z = 0 + 1s + 0t

....

[babouchka31]

Je ne comprends pas très bien car j'ai aussi la correction de cet exercice et il est marqué :
"l'équation cartésienne de Q est x-z=3 "
comment ont-ils trouvé cela ?

[sylvainc2]

Dans l'espace, l'équation d'un plan est de la forme ax+by+cz=d. Le vecteur (a,b,c) est orthogonal au plan. Si tu regardes les équations paramétriques de Q, on voit que (1,0,1) et (0,-1,0) sont des vecteurs linéairement indépendants dans le plan Q. Donc soit tu fais un produit vectoriel pour trouver (a,b,c), soit tu essaies au pif car ici c'est facile: on voit bien que a=1,b=0 et c=-1 est effectivement orthogonal à ces 2 vecteurs (par le produit scalaire).

Donc une équation cartésienne de Q est 1x+0y-1z = d. Tu substitues le point (3;1;0) pour trouver d=3.

[mathelot]

:

Soit le plan P : x+y+z=0
le plan Q: x=3+s ; y=1-t ; z=s
et la droite L, intersection de ces deux plans.

bonsoir,


plan (Q) s=x-3=z donc x-z=3

L,intersection des plans d'équations:
x+y+z=0 ET x-z=3

on prend z comme paramètre

L, droite dirigée par passant par A(3;-3;0)

[zygomatique]

le produit vectoriel peu être utilisé ... s'il est connu ....

je voulais revenir à l'écriture formelle de l'équation paramétrique pour mettre en valeur ce que dit mathelot ...

mais il est évident qu'on trouve immédiatement x = 3 + z

...

[babouchka31]

Merci beaucoup pour vos réponses, j'ai bien compris comment il fallait s'y prendre !

J'espère ne pas trop vous embêter mais j'ai encore un problème pour la suite de cet exercice :

On me dit de décrire une équation paramétrique ou cartésienne du plan contenant L passant par B(1,2,0)

Je pensais qu'il fallait juste rajouter les coordonnées xo, yo, zo de B à mon équation paramétrique. Mais d'après la correction (il n'y a que la réponse finale) ce n'est pas ça.
ils trouvent : x= 3+s-2t ; y=-3-2s+5t ; z=s comment ?

[zygomatique]

tu prends deux points de L et le points B ...