Décomposition en élement simple

par **lfanny** » 27 Fév 2015, 12:02

Bonjour!
Pourriez vous m'aider a effectuer la décomposition en élément simple de la fonction suivante:

1/(x²-a)² avec a: une constante.
Je vous remerci d'avance pour vos réponses!

par **mathelot** » 27 Fév 2015, 12:14

..........

par **chan79** » 27 Fév 2015, 12:20

lfanny a écrit:Bonjour!
Pourriez vous m'aider a effectuer la décomposition en élément simple de la fonction suivante:

1/(x²-a)² avec a: une constante.
Je vous remerci d'avance pour vos réponses!

salut

voir deux cas, selon le signe de a (si a est négatif, c'est vite fait)

par **lfanny** » 27 Fév 2015, 12:58

Comment avez vous trouvé la valeur de A ? je ne comprend pas cette étape multiplier tout par (x-a)^2 puis faire x=a après simplification de \frac{f(x)}{(x-a)^2}?

par **mathelot** » 27 Fév 2015, 13:15

lfanny a écrit:Comment avez vous trouvé la valeur de A ? je ne comprend pas cette étape multiplier tout par (x-a)^2 puis faire x=a après simplification de \frac{f(x)}{(x-a)^2}?

par **chan79** » 27 Fév 2015, 13:20

mathelot a écrit:

petite étourderie, mathelot :lol3:

par **zygomatique** » 27 Fév 2015, 13:23

et pourtant toutes les réponses sont ici :: http://www.ilemaths.net/forum-sujet-633867.html

...

par **Escargot92** » 27 Fév 2015, 13:26

Bizarre j'obtiens ca:

Premier étape on multiplie par le dénominateur de A:

Aprés simplification on a:

Deuxiéme étape:
on pose x=a pour essaié d'annuler les autres éléments de la somme

-> A=0 Il y a un truc qui va pas non ?

par **Robic** » 27 Fév 2015, 20:05

(Correction : l'intégrale donnée dans l'autre discussion n'est pas celle que j'ai écrit plus bas. Je suis une buse.)

Lfanny : s'il s'agit de calculer l'intégrale donnée dans l'autre discussion, à savoir

, je préfère une méthode beaucoup plus simple : poser t = 1/x (c'est le premier changement de variable qui me vient à l'esprit, pas toi ? - oui, ou bien on peut faire t = b/x, c'est pareil). On obtient, si je ne dis pas de bêtise :

dont la fraction rationnelle est bien plus simple à décomposer (on peut même se passer de la théorie de la décomposition en éléments simples).

-------------------------------
Sinon, pour info (parce que, bêtement, j'avais commencé par regarder la décomposition du premier message (correction : ce qui n'était pas si bête que ça en fin de compte)), pour décomposer une fraction rationnelle en éléments simples, il y a deux étapes (dans le cas général) : 1. écrire la décomposition a priori, 2. calculer les coefficients.

Voici la décomposition a priori (en supposant a positif, sinon il n'y a rien à décomposer) :

Pour trouver B on multiplie les deux membres par

et on pose

. Même méthode pour trouver D.

(Escargot92 :

ne fait pas 0 car - et c'est fait exprès ! - le facteur

se simplifie avec celui du dénominateur...)

Pour trouver A et C on utilise deux valeurs particulières, par exemple on pose x=0 et on regarde ce qui se passe, ça donne une première relation entre A et C, puis on multiplie par x et on fait tendre x vers l'infini (de façon à faire ressortir A et C) pour avoir une deuxième relation.

Bref, ce sont les méthodes habituelles.

Si on ne connaît pas ces méthodes, il y a la méthode "bourrin", longue mais qui marche toujours : mettre tout le membre de droite au même dénominateur et identifier les deux numérateurs (ce sont des polynômes donc ils ont les mêmes coefficients).

PS : j'ai trouvé

(en espérant ne pas m'être trompé...)

par **Escargot92** » 04 Mar 2015, 12:30

@Robic oui mais une personne du forum donnait une autre formulation (sans racine de a). D'où ma stupeur en voyant le résultat obtenu après calcul. :lol3:

par **Robic** » 04 Mar 2015, 14:01

Avec a ou avec racine de a ne change rien à ton erreur. (x-a)²f(x) ne fait pas 0 car - et c'est fait exprès ! - le facteur (x-a)² se simplifie avec celui du dénominateur.

par **zygomatique** » 04 Mar 2015, 17:41

Robic a écrit:Lfanny : s'il s'agit de calculer l'intégrale donnée dans l'autre discussion, à savoir , je préfère une méthode beaucoup plus simple : poser t = 1/x (c'est le premier changement de variable qui me vient à l'esprit, pas toi ? - oui, ou bien on peut faire t = b/x, c'est pareil). On obtient, si je ne dis pas de bêtise :

dont la fraction rationnelle est bien plus simple à décomposer (on peut même se passer de la théorie de la décomposition en éléments simples).

encore plus simple ::

:zen:

par **Robic** » 04 Mar 2015, 20:14

Ah ben, oui, tout simplement ! (Correction : je dis n'importe quoi, j'ai lu l'autre forum trop vite... Moralité : il faut lire avec attention les énoncés.)

par **zygomatique** » 04 Mar 2015, 20:21

certes mais attention dans l'autre forum il y avait une racine carrée ...

par **Robic** » 04 Mar 2015, 20:57

Ah mais oui ! Du coup je me suis planté, j'ai lu trop vite !

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