Problème d'aiguilles...

[Buridan]

Bonjour à ceux qui aiment bien les problèmes d'heures... et à tous les autres !
Ceci n'est pas un devoir, et je n'ai pas la réponse.

Une montre à aiguilles indique 13h52. A 13h53, les nombres (1, 2, 3, ..., 11, 12) se décaleront tous d'autant de degrés que l'angle formé par les petite et grande aiguilles. Les nombres tourneront dans le sens habituel des aiguilles et à chaque minute. L'angle de rotation sera toujours "heure-arc de cercle dans le sens des aiguilles d'une montre-minute", donc parfois rentrant, parfois saillant.
Où sera le nombre 12 à minuit, quand les deux aiguilles seront parfaitement superposées ?

A bon entende heure ! :lol3:

Merci d'avance.

[Waax22951]

Bonjour,
Je propose ma réponse:

Remarquons d'abord qu'à chaque minute, l'aiguille des minutes avance d'un angle de et celle des heures avance d'un angle de .

On considèrera dans toute la suite le déplacement de l'aiguille des minutes par rapport à celle des heures. Dans un premier temps, on remarque que, puisque les deux aiguilles vont dans le même sens, la vitesse de l'aiguille des minutes par rapport à celle des heures est de chaque minutes. De plus, un bref calcul montre qu'il s'écoule 608 minutes entre 13h52 et minuit.
Notons qu'à 13h52, l'angle formé par les aiguilles est de:

De plus, dans le sens de l'horloge des heures vers celui des minutes (donc dans le sens horaire), l'angle formé par les deux aiguilles à 13h52 est de:


On peut donc utiliser l'algorithme suivant pour déterminer le décalage des nombres au bout de 608 minutes:

Variables:
A est un réel positif
N est un entier naturel
D est un réel positif

Initialisation:
A prend la valeur
D prend la valeur 0

Traitement:
Pour N allant de 1 à 608
A prend la valeur A+

Si , alors
A prend la valeur
Fin Si

Si , alors
D prend la valeur D+A
Fin Si

Si , alors
D prend la valeur
Fin Si
Fin Pour

Sortie:
Afficher D

L'algorithme affiche:


Soit encore:


Je ne détaille pas le calcul, mais on prouve facilement que:
[CENTER][/CENTER]

Donc le décalage est de radians, soit un décalage de 123°

Au vue de l'heure, j'ai surement fait une erreur de calcul (ou de raisonnement mais je préfère ne pas y penser..! ^^') ou bien une erreur dans mon algorithme, donc si quelqu'un voit quelque chose de suspect, voire de faux, qu'il en fasse part..!

Bonne soirée ! :lol3:

PS: j'avais bien fait une énorme erreur, mais c'est corrigé..! (Après je ne sais pas si je n'en ai pas fait d'autres..)

[Buridan]

Quelqu'un d'autre ?