Système linéaire prépa HEC

[lilou777]

Bonjour,
j'ai du mal à résoudre ce système linéaire, quelqu'un pourrait m'aider svp ? :help:

2x+y+z=3
3x-y-2z=0
x+y-z=-2
x+2y+z=1

Le fait qu'il y a plus de lignes que d'inconnues me perturbe un peu ....

Merci beaucoup d'avance :)

[mathelot]

Bonjour,
j'ai du mal à résoudre ce système linéaire, quelqu'un pourrait m'aider svp ? :help:

2x+y+z=3 (1)
3x-y-2z=0 (2)
x+y-z=-2 (3)
x+2y+z=1 (4)

Le fait qu'il y a plus de lignes que d'inconnues me perturbe un peu ....

Merci beaucoup d'avance

On garde trois équations à trois inconnues de rang maximum



donc on garde les trois premières équations, qui sont de rang 3
et donnent une solution unique
On remplace ensuite dans la quatrième égalité par les valeurs trouvées
afin de voir si la 4ème égalité est vérifiée.
on écrit les combinaisons linéaires de lignes suivantes:
L1-2L3
L2-3L3

il est plus judicieux de garder les lignes L1,L3,L4 qui forment un système de rang 3,
ce qui élimine tout de suite z.

[BiancoAngelo]

Bonjour,
j'ai du mal à résoudre ce système linéaire, quelqu'un pourrait m'aider svp ? :help:

2x+y+z=3 (1)
3x-y-2z=0 (2)
x+y-z=-2 (3)
x+2y+z=1 (4)

Le fait qu'il y a plus de lignes que d'inconnues me perturbe un peu ....

Merci beaucoup d'avance

Bonjour !

(3)+(4) donnent 2x + 3y = -1
2(1)+(2) donnent 7x + y = 6 donc 21x + 3y = 18

Donc en soustrayant : 19x = 19 ce qui donne

2x + 3y = -1 donc 3y = -1 - 2x donc

Or, z = x + y + 2 d'après (3)

Donc

En vérifiant, ces solutions sont valides dans les 4 lignes (sauf erreur de ma part).

[emdro]

Bonjour,

cela n'est pas grave d'avoir trop de lignes : tu peux quand même appliquer la méthode classique de Gauss-Jordan :

La matrice augmentée associée au système (attention, je n'ai pas écrit le trait avant la dernière colonne) est


Par ta matrice est équivalente par lignes à :


Ensuite ,puis et


Par :


Ensuite ,puis


Ensuite ,puis


Enfin ,
.

Tu vois que la dernière ligne n'a pas d'importance. Si tu reviens en écriture système, cela ferait 0x+0y+0z=0. De telles lignes, tu peux en ajouter autant que tu veux sans que cela change quoi que ce soit !

Tu peux maintenant facilement déterminer tes inconnues principales (toutes). Il n'y a pas d'inconnues secondaires (=paramètres).
N'oublie pas de remettre mentalement le trait avant la dernière colonne dans la matrice augmentée...

NB: Mathelot et BiancoAngelo : Lilou777 est en prépa HEC. Mieux vaut rester dans le cadre de son programme si on veut l'aider...

[mathelot]

........................

[lilou777]

Merci beaucoup pour vos réponses ! Je vais essayer de faire ça !
Merci encore :)

[emdro]

ici ........................

Bonsoir Mathelot,

je n'engueule personne. Je remarque juste que Lilou777 a bien précisé Prépa HEC, et que ta réponse qui utilise des déterminants ne risque pas de la concerner.

[mathelot]

ah ,oui, d'accord.

[tytou35]

Bonjour !
Je suis dans la même situation que toi ! Je suis en prépa et je bloque sur un système ... Je pense que ce n'est pas grand chose, j'ai une intuition, peut-être mauvaise mais bon...
Le système en question :

x+2y+3z=0
2x+3y-z+0
3x+y+2z=0

Normalement, on a une ligne relativement ''épurée'', sans coefficient devant les variables, ce qui rend les choses plus évidentes pour les manipulations qui suivent. Et là, dans chaque ligne, il y a une variable toute seule. Je pense qu'il y a quelque chose à faire avec ça mais je ne sais pas quoi ...
Si quelqu'un pouvait me donner une petite indication, ce serait très gentil :id:
Merci beaucoup !

[BiancoAngelo]

Bonjour !
Je suis dans la même situation que toi ! Je suis en prépa et je bloque sur un système ... Je pense que ce n'est pas grand chose, j'ai une intuition, peut-être mauvaise mais bon...
Le système en question :

x+2y+3z=0
2x+3y-z+0
3x+y+2z=0

Normalement, on a une ligne relativement ''épurée'', sans coefficient devant les variables, ce qui rend les choses plus évidentes pour les manipulations qui suivent. Et là, dans chaque ligne, il y a une variable toute seule. Je pense qu'il y a quelque chose à faire avec ça mais je ne sais pas quoi ...
Si quelqu'un pouvait me donner une petite indication, ce serait très gentil :id:
Merci beaucoup !

Salut.

On a :

x+2y+3z=0
2x+3y-z=0
3x+y+2z=0

D'après la ligne 2, on voit que z = 2x + 3y.

On peut remplacer z par cette expression dans la ligne 1 et 3.
Ca donne :
x + 2y + 6x + 9y = 0
3x + y + 4x + 6y = 0

Ce qui donne
7x + 11 y = 0
7x + 7y = 0

En soustrayant, on trouve y = 0.
Donc x = 0.
Et donc z = 0.

C'était évident vu le système de départ avec tout égal à 0.

Es-tu sûr donc que chaque ligne "vaut" 0 ?

[tytou35]

Oui tout vaut 0 !
Mon prof ne veut pas qu'on remplace les variables comme ça ... :/
Tout doit se faire par additions ou soustractions de lignes, ce qui rend les choses un peu plus compliquées héhé
Merci pour ton aide en tout cas !

[chan79]

Oui tout vaut 0 !

Tout doit se faire par additions ou soustractions de lignes, ce qui rend les choses un peu plus compliquées héhé
Merci pour ton aide en tout cas !

Salut
(2)+(4)-(3) te donne 3x=3

[BiancoAngelo]

Bonjour !
Je suis dans la même situation que toi ! Je suis en prépa et je bloque sur un système ... Je pense que ce n'est pas grand chose, j'ai une intuition, peut-être mauvaise mais bon...
Le système en question :

x+2y+3z=0
2x+3y-z+0
3x+y+2z=0

Normalement, on a une ligne relativement ''épurée'', sans coefficient devant les variables, ce qui rend les choses plus évidentes pour les manipulations qui suivent. Et là, dans chaque ligne, il y a une variable toute seule. Je pense qu'il y a quelque chose à faire avec ça mais je ne sais pas quoi ...
Si quelqu'un pouvait me donner une petite indication, ce serait très gentil :id:
Merci beaucoup !

Ca roule !
Alors je reprends :

x+2y+3z=0
2x+3y-z=0
3x+y+2z=0




x+2y+3z = 0
-y-7z = 0
-5y-7z = 0



x+2y+3z = 0
-y-7z = 0
28z = 0

D'où z= 0
D'où y = 0
D'où x = 0.

Tu préfères ? :zen:

[mathelot]

pourriez vous expliquer la méthode en terme de matrices ? (je pose la question par curiosité)

[BiancoAngelo]

Salut.

D'accord. Je reprends donc la technique avec la matrice (idem) ;


























D'où x= 0
D'où y = 0
D'où z = 0.

Voilà !

[mathelot]

mais ce procédé permet de construire une matrice de passage ?

[tytou35]

Merci beaucoup pour votre aide ! C'est super gentil !
:)))