Limite en un point à démontrer (trouver Lambda)
Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
-
mathelot
- Habitué(e)
- Messages: 13686
- Enregistré le: 08 Juin 2006, 08:55
-
par mathelot » 24 Fév 2015, 18:15
[quote="aldo56"]
donc la définition :
-
Manny06
- Membre Complexe
- Messages: 2123
- Enregistré le: 26 Jan 2012, 16:24
-
par Manny06 » 24 Fév 2015, 18:17
aldo56 a écrit:bonjour
je dois utiliser la définition de la limite en point pour demontrer qu'elle existe
soit la fonction
et la limite à demontrer est: limite f(x) = 7 quand x tend vers 2
donc la définition :
afin de démontrer que f admet comme limite 7 au voisinage de 2
Je débute de:
, d'ou j'obtiens après calcul:
d'où:
et là je bloque
ce que je sais c'est d'arriver à identifier un
en fonction de
merci pour l'aide
pose x=2+h et choisis d'abord h assez petit pour pouvoir majorer |x-4|/|x-1|
-
mathelot
- Habitué(e)
- Messages: 13686
- Enregistré le: 08 Juin 2006, 08:55
-
par mathelot » 24 Fév 2015, 18:24
aldo56 a écrit:Je débute de:
, d'ou j'obtiens après calcul:
d'où:
x est voisin de 2.
On se restreint à
et
d'où
(1)la condition (1) est suffisante pour impliquer le résultat souhaité
-
mathelot
- Habitué(e)
- Messages: 13686
- Enregistré le: 08 Juin 2006, 08:55
-
par mathelot » 24 Fév 2015, 18:51
on y est presque. Remplace 4-x par |x-4| vû que x est voisin de 2
-
Manny06
- Membre Complexe
- Messages: 2123
- Enregistré le: 26 Jan 2012, 16:24
-
par Manny06 » 24 Fév 2015, 19:08
mathelot a écrit:x est voisin de 2.
On se restreint à
et
d'où
(1)la condition (1) est suffisante pour impliquer le résultat souhaité
si on choisit epsilon=1/2 donc alpha=1
est-on sur que sur ]1;3[ |f(x)-7|<1/2 ? (ex calculer f(1,5)=9,5 !!
en réalité il faut rester à l'inégalité |x-2||x-4|/[x-1| < epsilon
puis sur un petit intervalle de centre 2 et rayon h majorer |x-4|/|x-1| par k puis choisir pour alpha min(h,epsilon/k)
-
mathelot
- Habitué(e)
- Messages: 13686
- Enregistré le: 08 Juin 2006, 08:55
-
par mathelot » 24 Fév 2015, 19:45
si x tend vers 2, on restreint l'étude des fonctions f et f' à un petit voisinage de 2.
sur
f' est bornée (uniformément) par une constante k que j'ai la flemme de calculer.
(2)
on a le droit de primitiver cette inéquation (c'est du programme Bac+1) mais je tente de t'expliquer...
pour rendre
inférieur à
,
il suffit de prendre
et donc
sans oublier
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Au niveau de la logique formelle, on souhaite
on définit
telle que
et
, en diminuant
d'où
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-
Manny06
- Membre Complexe
- Messages: 2123
- Enregistré le: 26 Jan 2012, 16:24
-
par Manny06 » 24 Fév 2015, 20:15
mathelot a écrit:si x tend vers 2, on restreint l'étude des fonctions f et f' à un petit voisinage de 2.
sur
f' est bornée (uniformément) par une constante k que j'ai la flemme de calculer.
(2)
on a le droit de primitiver cette inéquation (c'est du programme Bac+1) mais je tente de t'expliquer...
pour rendre
inférieur à
,
il suffit de prendre
et donc
sans oublier
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Au niveau de la logique formelle, on souhaite
on définit
telle que
et
, en diminuant
d'où
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
sans passer par des th hors bac
si x]3/2;5/2[ 3/2<4-x<5/2
1/2<x-1<3/2 2/3<1/(x-1)<2
1<(4-x)/(x-1)<5
donc si alpha=min (epsilon/5,1/2) |x-2||x-4|/|x-1|<5|x-2|<epsilon
-
Manny06
- Membre Complexe
- Messages: 2123
- Enregistré le: 26 Jan 2012, 16:24
-
par Manny06 » 25 Fév 2015, 11:06
aldo56 a écrit:bonjour
désolé de revenir sur ce sujet
j'ai essayé de refaire cet exercice mais je pense que tu t'es trompé au niveau de ton encadrement;
ce que j'ai fait
je suis arrivé après calcul:
d'où:
donc l'objet, si j'ai bien compris, est de majorer :
pour l'encadrement de
, j'ai suivi ton même raisonnement mais j'aboutis à un intervalle différent:
pour
on a :
et donc
et enfin:
au final on a (|4-x| =|x-4|):
pour (x-1) on a pour
avec
d'où
donc
d'où:
ce qui majore le rapport donc c'est
d'où
(bien sur sauf erreur!)
merci
NON l'objet est de majorer |x-4|/|x-1|
je t'ai donné un contre exemple en choisissant epsilon=1/2 et x=1,5 on trouve f(x)=9,5 et
|f(x)-f(2)|=2,5 n'est donc pas inférieur à 1/2
-
chan79
- Membre Légendaire
- Messages: 10330
- Enregistré le: 04 Mar 2007, 20:39
-
par chan79 » 25 Fév 2015, 12:03
aldo56 a écrit:bonjour
désolé de revenir sur ce sujet
j'ai essayé de refaire cet exercice mais je pense que tu t'es trompé au niveau de ton encadrement;
Bonjour
Je ne vois pas où Manny06 aurait fait une erreur
on peut bien choisir d'abord
plus petit qu'une valeur arbitraire.
Manny06 a choisi 1/2
Prenons
alors
d'une part
d'autre part
on vérifie qu'il suffit de choisir
-
Manny06
- Membre Complexe
- Messages: 2123
- Enregistré le: 26 Jan 2012, 16:24
-
par Manny06 » 25 Fév 2015, 12:11
aldo56 a écrit:d'accord mais tu peux m'éclaircir cette conclusion
si alpha =min(epsilon/5,1/2)
on a |x-2|<1/2 donc on est dans l'intervalle [3/2;5/2]
sur cet intervalle on a majoré |x-4|/|x-1|par 5
donc |x-2|*(|x-4|/|x-1|)<5|x-2|<5alpha or alpha<epsilon/5 donc 5alpha<epsilon
soit |f(x)-f(2)|<epsilon
-
Manny06
- Membre Complexe
- Messages: 2123
- Enregistré le: 26 Jan 2012, 16:24
-
par Manny06 » 25 Fév 2015, 14:38
[quote="aldo56"]merci mais c'est le début qui me pose problème alors que c'est le résultat auquel on doit aboutir[/QUOTE
Peut-être que ton professeur pourra mieux t'expliquer
ici on raisonne non par équivalence mais en cherchant des conditions SUFFISANTES pour obtenir le résultat voulu
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 64 invités