Groupes
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Ncdk
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par Ncdk » 24 Fév 2015, 20:40
Bonjour,
Une question me turlupine, je voudrais être totalement sur de savoir comment prouver qu'un ensemble G est un groupe pour une loi * quelconque.
En gros je voudrais savoir si ma démarche est bonne :
1- On s'assure que G est non vide, sinon ce n'est pas un groupe.
2- Prouver qu'on est bien en présence d'une loi de composition interne *
3- Montrer que cette loi est associative.
4- Trouver l'unique élément neutre de G pour la loi *
5- Prouver que tout élément de G admet un inverse par *.
Je voulais déjà savoir si la démarche est bonne.
Mais j'ai ensuite une question, comment on peut prouver le 2-, le 4- et le 5-, c'est les points que je sais pas prouver, il y a une méthode ou c'est plutôt de la logique ?
Merci d'avance
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emdro
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par emdro » 24 Fév 2015, 20:45
Bonjour,
la démarche est parfaite !
Pour répondre à 2, 4 et 5, il faut connaître parfaitement la signification des termes employés. Sais-tu ce qu'est une loi de composition interne sur G ? Si oui, tu sauras quoi faire pour t'assurer que * en est une...
Idem pour les autres questions, mais il faudra en plus un peu d'intuition (ou une belle analyse synthèse) pour trouver l'élément neutre et le symétrique d'un élément donné.
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Ncdk
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par Ncdk » 24 Fév 2015, 20:54
emdro a écrit:Bonjour,
la démarche est parfaite !
Pour répondre à 2, 4 et 5, il faut connaître parfaitement la signification des termes employés. Sais-tu ce qu'est une loi de composition interne sur G ? Si oui, tu sauras quoi faire pour t'assurer que * en est une...
Idem pour les autres questions, mais il faudra en plus un peu d'intuition (ou une belle analyse synthèse) pour trouver l'élément neutre et le symétrique d'un élément donné.
Une loi de composition interne sur G, je pense savoir ce que c'est mais je sais pas en fait comment le prouver. Je sais qu'une loi de composition interne c'est une application qui pour 2 éléments d'un même ensemble associe un élément du même ensemble, comme par exemple le + dans R. (2+2=4 c'est bête mais je pense que + est une loi de composition interne pour R) jespère pas me tromper
Donc pour 4- et 5- c'est pas trop calculatoire, c'est surtout de l'intuition comme par exemple le Id pour les matrices qui est un élément neutre, enfin ce n'est qu'un exemple.
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emdro
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par emdro » 24 Fév 2015, 21:00
Oui c'est ça. Donc pour prouver que * est une lci sur G, il faut prendre deux éléments a et b, arbitrairement choisis dans G, et prouver que a*b est encore dans G.
Plutôt que de deviser dans le vide, tu peux t'exercer sur l'exercice suivant :
On définit sur R la loi
par a;)b = a + b
ab.
1. (
,
) est-il un groupe ?
2. Déterminer une partie de
qui soit un groupe pour la loi
.
3. Pour
et pour
, calculer
, c'est-à-dire a;)a;)...
a, où le a apparaît n fois.
NB + est bien une lci sur
. Les lci sont la généralisation des opérations sur les nombres apprises dans notre enfance...
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Skullkid
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par Skullkid » 24 Fév 2015, 21:15
Salut, outre la démarche générale que tu as donnée, il est assez fréquent de se trouver dans le cas particulier où on dispose déjà d'un groupe (G,*) et on cherche à montrer qu'un certain sous-ensemble H de G est un groupe pour *. Il suffit alors de montrer que (H,*) est un sous-groupe de (G,*), ce qui allège grandement la démonstration.
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Ncdk
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par Ncdk » 24 Fév 2015, 21:24
Merci pour l'exercice, j'ai pu voir un peu, c'est un exercice plus facile que mes TD :p
Oui Skullkid, mais comme je revois un peu les groupes du début, c'est frais de 2-3 semaines, alors je veux déjà maîtriser la base pour refaire mes exercices de TD et après mon DM plus facilement, tant que je comprends, c'est parfait :) Merci de votre aide :D
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emdro
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par emdro » 24 Fév 2015, 21:36
Ncdk a écrit:Merci pour l'exercice, j'ai pu voir un peu, c'est un exercice plus facile que mes TD :p
Et alors,
est-il un groupe ?
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Ncdk
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par Ncdk » 24 Fév 2015, 21:42
Oui c'est bien un groupe j'ai trouvé d'ailleurs que l'élément neutre c'est 0 et l'inverse de x c'est
Pour les trouver j'ai fait comme un système, j'ai vu à chaque fois que les deux équations étaient la même donc je me retrouver une équation à deux inconnues pour le cas 4- c'était x et e mes inconnues donc j'ai trouvé e = 0 et pour le cas 5- j'ai prit x et y et je suis arrivé à
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emdro
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par emdro » 25 Fév 2015, 01:09
Tu avais regardé un peu vite quand tu as trouvé que l'exercice était simple...
Non,
n'est pas un groupe !
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Ncdk
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par Ncdk » 25 Fév 2015, 02:20
Oups ! Mais R\{1} l'est non ? :p
Car x ne peut pas être prit dans R entier mais bien dans R\{1}... Manqué ce détail :(
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emdro
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par emdro » 25 Fév 2015, 10:14
As-tu prouvé que:
- T est une lci sur R\{1} ;
- si a,b sont dans R\{1}, alors aTb est dans R\{1};
- si a est dans R\{1}, alors son symétrique est encore dans R\{1}?
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Ncdk
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par Ncdk » 25 Fév 2015, 15:38
Oui j'ai prouvé ça, je l'avais fait avec R mais j'avais pas prit en compte que ça fonctionné pas pour 1 ;)
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