Exp,log fonctions réciproques

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mathelot
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exp,log fonctions réciproques

par mathelot » 20 Fév 2015, 00:08

re,

je me demande

si on définit intrinsèquement, et le logarithme népérien comme primitive de 1/x sur R+*,
et l'exponentielle comme limite des polynômes
quand n tend vers l'infini,
dès lors, comment montre-t-on que les deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre ?

merci.

si, c'est bon, je vois.
On fait comme H.Cartan, on définit deux séries formelles d'indéterminée X
et

et l'on montre qu'elles sont réciproques l'une de l'autre ??

voyez vous un autre procédé ?

si , c'est ok! moins calculatoire que les séries formelles,

a pour dérivée donc en intégrant,on obtient
et ensuite on dispose d'un théorème ensembliste,qui affirme que
si alors .



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mathelot
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par mathelot » 20 Fév 2015, 10:58

je veux bien votre avis sur la question....
si on définit ln() et exp() intrinsèquement, sans se soucier de l'autre bijection, comment montrer qu'elles sont , in fine, des bijections réciproques l'une de l'autre ?

pour , c'est ok, mais, je ne vois pas. :hum:

si ça marche, l'inverse à droite est inverse à gauche.

supposons f,g bijectives et g, inverse à droite de f pour la composition
si


comme f est injective,

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zygomatique
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par zygomatique » 20 Fév 2015, 11:17

salut

si u(x) > 0 ::



on dérive ::




on dérive ::

on multiplie membre à membre ::

....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

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mathelot
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par mathelot » 20 Fév 2015, 14:32

merci..................

SLA
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par SLA » 20 Fév 2015, 14:54

mathelot a écrit:re,

je me demande

si on définit intrinsèquement, et le logarithme népérien comme primitive de 1/x sur R+*,
et l'exponentielle comme limite des polynômes
quand n tend vers l'infini,
dès lors, comment montre-t-on que les deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre ?

Salut,
Pour le coté intrinsèque, je suis pas convaincu: comment montres-tu que existe?
"La" définition intrinsèque de exp c'est . Avec cette définition, on montre que la série converge sur R et que exp'=exp et exp(0)=1.
mathelot a écrit:merci.

si, c'est bon, je vois.
On fait comme H.Cartan, on définit deux séries formelles d'indéterminée X
et

et l'on montre qu'elles sont réciproques l'une de l'autre ??

voyez vous un autre procédé ?

Si tu parles de série formelle, tu ne parles que de série formelle. Il faut à un moment passer dans le monde des séries. Par ailleurs le développement en série que tu proposes pour ln n'est pas valable pour .
mathelot a écrit:si , c'est ok! moins calculatoire que les séries formelles,

a pour dérivée donc en intégrant,on obtient
et ensuite on dispose d'un théorème ensembliste,qui affirme que
si alors .


Ok pour la dérivée de la composée c'est la meilleure méthode. Encore faut-il montrer que exp (comme tu le définis) est dérivable et calculer sa dérivée. Dans ce cas, pourquoi ne pas simplement calculer la dérivée de exp(ln(x))?

Parce que le "théorème ensembliste" n'en est pas un: il est faux!
Les contre-exemples ne manquent pas:
Sur et alors mais .
Un deuxième pour la route (même si moralement, c'est le même) sur l'espace des suites, pour on pose et (opérateurs de décalage à gauche et à droite).
Cordialement

paquito
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par paquito » 20 Fév 2015, 17:27

Bonjour mathelot,

Comme SLA,, dès le départ, ce qui me gêne, même si on donne , c'est de

démontrer que converge; si on utilise le d.l. d'ordre 2 de ln, on se mord la queue

puisqu'on n'aura pas démontré que exp

2°) est ce que , avec dérivable ?

Comme j'ai toujours montrer cette limite avec l'exponentielle et que je n'ai pas vu de tentative de

définir l'exp ainsi, je pense que ça pose un problème, même si ça vaut le coup de regarder.

SLA
Membre Relatif
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par SLA » 20 Fév 2015, 17:39

paquito a écrit:
2°) est ce que , avec dérivable ?

Comme j'ai toujours montrer cette limite avec l'exponentielle et que je n'ai pas vu de tentative de

définir l'exp ainsi, je pense que ça pose un problème, même si ça vaut le coup de regarder.


Il y a un résultat établi qui s'approche de ça:
s'il existe un point a tel que u_n(a) converge vers un réel l et si u_n' converge uniformément vers une fonction g alors f(x)=\lim_{n\to+ \infty}u_n(x) est dérivable et .

Remarque: la convergence uniforme peut avoir lieu sur un voisinage de chaque point.

Prenant sur [0,1], la limite n'est même pas continue.

Robic
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par Robic » 22 Fév 2015, 03:58

SLA a écrit:Pour le coté intrinsèque, je suis pas convaincu: comment montres-tu que existe?

Dans le livre "Mathématiques Tout-en-un Licence L1" de chez Dunod (sous la direction de Ramis et Warusfel), c'est bien ainsi qu'est définie l'exponentielle (pour x complexe). L'existence de cette limite est compliquée à démontrer sans exponentielle ni logarithme, mais ça se fait (je l'ai vu dans le livre, mais je n'ai pas refait les calculs - ça utilise entre autres la formule du binôme et il y a plusieurs inégalités intermédiaires à démontrer...)

Par contre le logarithme est ensuite défini comme la réciproque de l'exponentielle, donc ça ne répond pas à la question initiale.

 

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