Etude de la fonction exponentielle

[valentint]

Binjour,
J'ai un devoir à faire et je bloc à la question n° 3, j'ai fais les questions 1 et 2 et je pense pouvoir faire les question 4,5 et 6.
Voici l'énoncé :

Soit f la fonction le fonction définie par f(x)=xe^x

1- Dresser le tableau de variation de f.

j'ai trouver ce tableau de variation :

x -;) -1 ;)
f' - 0 +
f 0 ;)

-e^1

2- Donner, suivant la valeur du nombre réel a fixé, le nombre de solution de f(x)=a.

J'ai donc dis que pour -e^1=0

3- Montrer que l'équation f(x)=1/n (n;);)*) admet une unique solution positive Un.

C'est à cette question que je bloc.

4- déterminer les valeur approchées à 10^-3 près de U1, U2 et U3.

Il suffira de remplacer n dans la solution obtenue à la question 3.

5- Montrer que la suite (Un) est décroissante. Que peut on en déduire ?

J'utiliserais la formule U(n+1)/Un en espérant trouver un résultat négatif.

6- Montrer que pour tout n de ;)* : 0
Je pense qu'ici je devrais utiliser la récurrence.

Merci à ceux qui essaierons de m'aider, car là je ne vois vraiment pas comment faire.

[tabul]

Binjour,
J'ai un devoir à faire et je bloc à la question n° 3, j'ai fais les questions 1 et 2 et je pense pouvoir faire les question 4,5 et 6.
Voici l'énoncé :

Soit f la fonction le fonction définie par f(x)=xe^x

1- Dresser le tableau de variation de f.

j'ai trouver ce tableau de variation :

x -;) -1
f' - 0 +
f 0

-e^1

2- Donner, suivant la valeur du nombre réel a fixé, le nombre de solution de f(x)=a.

J'ai donc dis que pour -e^1=0

3- Montrer que l'équation f(x)=1/n (n;);)*) admet une unique solution positive Un.

C'est à cette question que je bloc.

4- déterminer les valeur approchées à 10^-3 près de U1, U2 et U3.

Il suffira de remplacer n dans la solution obtenue à la question 3.

5- Montrer que la suite (Un) est décroissante. Que peut on en déduire ?

J'utiliserais la formule U(n+1)/Un en espérant trouver un résultat négatif.

6- Montrer que pour tout n de * : 0<Un<1/n. Déterminer alors lim Un quand n tend vers +;)

Je pense qu'ici je devrais utiliser la récurrence.

Merci à ceux qui essaierons de m'aider, car là je ne vois vraiment pas comment faire.

Tu as : 0< 1/n < 1 pour tout n entier naturel non nul

D'autre part, f est continue sur R+ et : f(0)= 0, limite de f en +infini=+infini

Enfin, f est strictement croissante sur R+

Tu conclues avec le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (si tu continues les maths après le bac tu auras la chance de connaître le théorème de la bijection) en disant qu'il existe donc une solution unique telle que f(x) = 1/n pour tout n non nul.

Sinon, tu aurais pu utiliser la question précédente en disant que 1/n (ton a) strictement positif donc il existe une seule solution, ce qui me paraît être une démonstration plus logique car elle découle des questions précédentes mais moins belles (ah la beauté des maths :ptdr: )

[valentint]

merci de ta réponse,
j'avais penser à la deuxième méthode, ce qui me paraissait le plus évident à première vu mais ce qui m'as poser problème c'est le Un et je pensait qu'il y avait une autre méthode qui me donnerais la valeur de la suite. Donc si je comprend bien la suite Un serait définie par 1/n ?

[tabul]

merci de ta réponse,
j'avais penser à la deuxième méthode, ce qui me paraissait le plus évident à première vu mais ce qui m'as poser problème c'est le Un et je pensait qu'il y avait une autre méthode qui me donnerais la valeur de la suite. Donc si je comprend bien la suite Un serait définie par 1/n ?

Non, c'est f(Un)= 1/n, pas Un. Pour trouver U1, U2 et U3 tu résous f(U1)=1, f(U2)=1/2, f(U3) = 1/3

Et fais attention pour la 5) :

1) Quand tu veux prouver qu'une suite est décroissante, le rapport U(n+1)/Un doit être inférieur à 1 et non à 0, sous la condition que Un ne s'annule pas...

2) Ce n'est pas ce que tu dois utiliser. Dans la première question, tu as du trouver que f était strictement croissante sur R+. Donc, si x et y sont deux réels positifs avec xu(n+1) donc (un) est décroissante.

Pour la question 6) tu devras effectivement faire une récurrence. ATTENTION : pour l'hérédité tu devras composer par f en précisant QU'ELLE EST STRICTEMENT CROISSANTE ET DONC QUE CA NE CHANGE PAS LE SENS DE L'INEGALITE.

Enfin, pour la limite en +infini, ça va de soi, tu devras utiliser un sympathique petit théorème que tu as normalement vu en tout début d'année.

Après je t'aide parce que tu es en difficulté, mais si je peux te donner un conseil, revois bien cet exercice parce qu'il est pas très compliqué mais hyper classique en terminale. Ne marque rien sur ta feuille si t'as pas compris pourquoi tu fais ça avant...