Dm Ts

[bigmost]

Bonjour;

j'ai besoin d'une aide pour un exos de mon DM,
f est dérivable et vérifie : f(x+y) = f(x)+f(y)

j'ai déjà montré que f'(x+y) = f'(x)+f'(y)

je bloque à cette question:

on note a=f'(0) et b =f'(0), soit g(x)= f(x) - ax -b

Montrer que g est constante sur IR et puis montrer que g est nulle;

Merci pour votre aide

[mathelot]

et calculer sa limite.

[Rizmoth]

Bonsoir.

\frac{f(x+h)-f(x)}{h} et calculer sa limite.

Euh, tu as essayé d'appliquer ça ? Je doute que ça suffise à répondre à l'exercice. Si tu arrives à calculer la limite de f(h)/h quand h tend vers 0, bravo...(comme f(0) = 0, on aboutit à une forme indéterminée "0/0", je ne vois pas comment tu conclues).

Bigmost, tu as marqué a = f'(0) et b = f'(0), c'est bizarre puisqu'on aurait alors a = b. Tu es sur que ce n'est pas, par exemple, b = f(0) ?

Une remarque qui pourrait peut-être t'aider : applique la relation f(x+y) = f(x) + f(y) dans le cas particulier x = 0 et y = 0. Qu'est ce que ça te donne ?

Cordialement.

[Joker62]

Hello,

Euh, tu as essayé d'appliquer ça ? Je doute que ça suffise à répondre à l'exercice. Si tu arrives à calculer la limite de f(h)/h quand h tend vers 0, bravo...(comme f(0) = 0, on aboutit à une forme indéterminée "0/0", je ne vois pas comment tu conclues).

[Rizmoth]

Oui, merci, je connais la définition :)

Seulement, si on utilise f'(x + y) = f'(x) + f'(y) :
f'(0 + 0) = f'(0) + f'(0)
f(0) = 2*f'(0)
Donc f'(0) = 0

Je ne vois pas quelle information supplémentaire apporte la limite du taux de variation ici...

[Robic]

J'ai réfléchi un peu à ce truc et l'indication de Mathelot m'a effectivement servi, mais il aurait pu expliquer le début... :hein:

J'ai supposé que a=f'(0) et b=f(0).

Montrer que g est constante

Pour ça il suffit de montrer que la dérivée est nulle. C'est une méthode à connaître. g est dérivable puisque f l'est (hypothèse de l'exercice) et que g est la différence entre f et une fonction affine.

On a : g'(x) = f'(x) - f'(0).

Donc pour démontrer que g' est nulle, il suffit de démontrer que pour tout x, f'(x) = f'(0) (autrement dit f' est constante).

Comparons f'(x) et f'(0). C'est là qu'intervient l'indication de Mathelot :

en utilisant l'hypothèse sur f.


Il reste donc à démontrer que f(h) - f(0) = f(h). Pour ça, on utilise l'hypothèse sur f en écrivant que h = h + 0.

Reste à remettre de l'ordre dans toutes ces idées...

puis montrer que g est nulle

Puisqu'elle est constante, il suffit de calculer une valeur particulière et vérifier qu'on obtient bien zéro. Là encore c'est une méthode à retenir.

[bigmost]

Oui en effet. b=f (0).
La méthode de l'accroissement ne donne rien de plus.
Mon souci cest comment prouver que g est constante et nulle de surcroît

[zygomatique]

Bonjour;

j'ai besoin d'une aide pour un exos de mon DM,
f est dérivable et vérifie : f(x+y) = f(x)+f(y)

j'ai déjà montré que f'(x+y) = f'(x)+f'(y)

je bloque à cette question:

on note a=f'(0) et b =f'(0), soit g(x)= f(x) - ax -b

Montrer que g est constante sur IR et puis montrer que g est nulle;

Merci pour votre aide

salut

ce qui est en gras est trivialement faux .... tu apprendras et tu peux le vérifier que seules les fonctions linéaires vérifient l'équation f(x + y) = f(x) + f(y)


soit la variable est x et on dérive par rapport à x donc f'(x + y) = f'(x)
soit la variable est y et on dérive par rapport à y donc f'(x + y) = f'(y)


ensuite je ne vois pas l'intérêt de poser a = f'(0) et b = f'(0) : pourquoi noter de deux façons différentes le même objet .... :mur:


pour poursuivre :

donc pour tout y : f'(x + y) = f'(x)

avec x = 0 on en déduit que f'(y) = f'(0)

f' est une constante donc f est affine
f(x) = f'(0)x + b

donc f(0) = b

or f(0 + 0) = f(0) + f(0) f(0) = 0 b = 0

donc f(x) = kx avec k réel

:zen:

[chombier]

salut

ce qui est en gras est trivialement faux .... tu apprendras et tu peux le vérifier que seules les fonctions linéaires vérifient l'équation f(x + y) = f(x) + f(y)

Enfin quelqu'un le remarque !!

soit la variable est x et on dérive par rapport à x donc f'(x + y) = f'(x)
soit la variable est y et on dérive par rapport à y donc f'(x + y) = f'(y)

Là je ne suis pas d'accord, f' est la dérivée de f, donc



On ne peut pas dériver f(x+y) par rapport à x ou à y, cela n'a pas de sens.

Si on posait u(x, y) = f(x+y), on pourrait dériver u par rapport à x ou par rapport à y. Je ne sais pas ce que ça donnerait.



Sinon, pour répondre au problème posé, et en utilisant le fait que f(x+y)=f(x)+f(y)

donc




La fonction f' est donc constante

[chombier]

Il reste donc à démontrer que f(h) - f(0) = f(h). Pour ça, on utilise l'hypothèse sur f en écrivant que h = h + 0.

Je n'avais pas pensé à ça : f(h+0) = f(h) + f(0) = f(h) Donc f(0) = 0

Ca évite mon raisonnement par l'absurde, fondé mais bien compliqué comparé à ta méthode.

Finalement tu avais tout trouvé

[chombier]

salut

ce qui est en gras est trivialement faux .... tu apprendras et tu peux le vérifier que seules les fonctions linéaires vérifient l'équation f(x + y) = f(x) + f(y)

Enfin quelqu'un le remarque !!

soit la variable est x et on dérive par rapport à x donc f'(x + y) = f'(x)
soit la variable est y et on dérive par rapport à y donc f'(x + y) = f'(y)

Là je ne suis pas d'accord, f' est la dérivée de f, donc



On ne peut pas dériver f(x+y) par rapport à x ou à y, cela n'a pas de sens.

Si on posait u(x, y) = f(x+y), on pourrait dériver u par rapport à x ou par rapport à y. Je ne sais pas ce que ça donnerait.



Sinon, pour répondre au problème posé, et en utilisant le fait que f(x+y)=f(x)+f(y)

donc




La fonction f' est donc constante

[chan79]

salut
fixons y
f(x+y)=f(x)+f(y)
si on dérive chaque membre (la variable est x)
la dérivée de f(x+y)=1.f'(x+y)=f'(x+y) dérivée d'une fonction composée
la dérivée de f(x)+f(y) est f'(x) car f(y) est une constante
donc
f'(x+y)=f'(x)
Ensuite, comme l'a bien expliqué zygomatique, on remplace x par 0

f'(y)=constante (qui est f'(0))
f(y)=ay+b et on montre facilement que b=0

[Robic]

Attention, l'énoncé demande de :

Montrer que g est constante sur IR et puis montrer que g est nulle;

Il faut suivre les étapes de l'énoncé, donc travailler avec g.

[chan79]

Attention, l'énoncé demande de :

Il faut suivre les étapes de l'énoncé, donc travailler avec g.

Tu as raison.
:zen:

[chombier]

salut
fixons y
f(x+y)=f(x)+f(y)
si on dérive chaque membre (la variable est x)
la dérivée de f(x+y)=1.f'(x+y)=f'(x+y) dérivée d'une fonction composée
la dérivée de f(x)+f(y) est f'(x) car f(y) est une constante
donc
f'(x+y)=f'(x)
Ensuite, comme l'a bien expliqué zygomatique, on remplace x par 0

f'(y)=constante (qui est f'(0))
f(y)=ay+b et on montre facilement que b=0

Ok, c'est beaucoup plus clair et rigoureux, en gros on fixe y et on s'intéresse à la fonction et on dérive ses deux écritures, la première en utilisant la dérivation d'une composée. Dans les deux cas on dérive par rapport à x puisque y est fixé.

[Robic]

J'ai peur qu'on soit en train d'embrouiller Bigmost... Je ne veux pas imposer mes méthodes, mais il me semble qu'au lycée, quand on demande de démontrer que g est constante, la méthode à utiliser est de dériver g est de vérifier que la dérivée est nulle. C'est une méthode qui servira souvent, et c'est justement au lycée qu'on fait connaissance avec cette méthode, donc c'est ça qu'il faut conseiller à Bigmost plutôt que diverses astuces. D'autant que la dérivée d'une fonction composée n'est plus au programme du lycée...

[chombier]

J'ai peur qu'on soit en train d'embrouiller Bigmost... Je ne veux pas imposer mes méthodes, mais il me semble qu'au lycée, quand on demande de démontrer que g est constante, la méthode à utiliser est de dériver g est de vérifier que la dérivée est nulle. C'est une méthode qui servira souvent, et c'est justement au lycée qu'on fait connaissance avec cette méthode, donc c'est ça qu'il faut conseiller à Bigmost plutôt que diverses astuces. D'autant que la dérivée d'une fonction composée n'est plus au programme du lycée...

Ah mais il n'y a pas le choix, il faut bien montrer que f' est constante à un moment ou un autre, avant de montrer que g' est identiquement nulle.

La première méthode que j'ai proposée pour montrer que f' est constante nécessitait moins de connaissance : uniquement la définition de la dérivée comme limite du taux d'accroissement. Elle était bien plus à mon goût.



En ce qui concerne le programme du lycée (en S), la seule règle générale connue sur la dérivation de fonctions composées est celle là :

Les autres sont pré-machées, par exemple

En passant, je n'aime pas du tout la notation "lycée" des dérivées, pour moi on devrait systématiquement écrire .

On ne devrait pas écrire mais . On ne dérive pas le nombre x^2 mais la fonction carré. Et le résultat n'est pas 2x mais la fonction linéaire qui à x associe 2x. Et le signe "=" représente bien une égalité de fonctions.


(la vraie notation est, il est vrai, un peu lourde pour le lycée)

[Robic]

Ah mais il n'y a pas le choix, il faut bien montrer que f' est constante à un moment ou un autre, avant de montrer que g' est identiquement nulle. La première méthode que j'ai proposée pour montrer que f' est constante nécessitait moins de connaissance : uniquement la définition de la dérivée comme limite du taux d'accroissement. Elle était bien plus à mon goût.

Tu as raison, et je pense que c'est la méthode attendue compte tenu du programme de terminale. Mais bon, Mathelot avait donné l'indication tout au début.

Concernant les notations, je suis surpris qu'on utilise . Quelle horreur !

[bigmost]

Bonjour,

Merci pour ces multiples réponses mais , je suis un peu perdu.

Voici le texte de l'exercice complet:
soit f fonction dérivable tel que f(x+y) = f(x) + f(y) (1)
a) Soit y € IR, montrer que f'(x+y) = f'(x)
b) En déduire que f' est une fonction constante.
On note a = f'(0) et b= f(0); soit g(x) = f(x) -ax-b
Montrer que g est dérivable et que g est constante.
c) Montrer que f(x) = ax
d) Démontrer que f est solution de (1) si et seulement si f est une fonction linéaire.

j'ai fait le a)

[Robic]

Ah, donc en fait il fallait bien commencer par étudier f', tu m'avais embrouillé... :lol3:

- Pour le b) : démontre que f'(y) = f'(0) pour tout y. La question a) devrait servir... Pour g, tu peux relire ce que j'ai écrit hier à 21h12.
- Pour le c) : pour ça, tu pars de g(x) = f(x) -ax-b, autrement dit g(x) +ax+b = f(x)...
- Pour le d) : c'est la conséquence des questions précédentes.