stocke a écrit:je crois avoir trouvé la réponse de la question 2 en "jouant" avec geogebra :
je trouve la relation suivante :
TA² + TB² + TP² = MN² + 5*NO² + OP² + PM²
par contre je n'arrive pas à démontrer ce résultat de façon rigoureuse.
chan79 a écrit:Salut
Bravo pour la conjecture.
Utilise le théorème de la médiane
TP²+PN²=
TB²+BN²=
TA²+AN²=
Ensuite tu utilises une formule qui donne la somme des carrés des côtés d'un quadrilatère et tu as ton égalité.
stocke a écrit:Je n'arrive pas à retrouver mon égalité
en appliquant le théorème de la médiane, j'ai :
TP²+PN²=1/2*TN²+2OP²
TB²+BN²=1/2*TN²+2OB²
TA²+AN²=1/2*TN²+2OA²
j'ai donc la relation :
TA²+TB²+TP²=3/2*TN²+2OP²+2OB²+2OA²
mais de la je ne parviens pas à retrouver mon égalité.
quelle relation pour la somme des carrés des cotés d'un quadrilatère faut-il utiliser ?
chan79 a écrit:TP²+PN²=1/2*TN²+2*OP²=2ON²+2*OP² car TN=2*ON
TB²+BN²=1/2*TN²+2OB²=2ON²+2OB²
TA²+AN²=1/2*TN²+2OA²=2*ON²+2OA²
donc, en ajoutant
TP²+TB²+TA²+PN²+BN²+AN²=6*ON²+2*OP²+2*OB²+2*OA²
Ensuite, on nomme K le milieu de [BP] et N le milieu de [PN]
D'après le théorème cité ci-dessous on a
OP²+PM²+MN²+ON²=PN²+OM²+4*LK²
soit
OP²+OB²+OA²+ON²=PN²+OM²+BN² car LK=BN/2
soit
OP²+OB²+OA²+ON²=PN²+AN²+BN²
Dans l'égalité rouge, on remplace donc PN²+AN²+BN² par OP²+OB²+OA²+ON²
et on simplifie pour obtenir
TP²+TB²+TA²=5*ON²+OP²+OB²+OA²
je mets le théorème dans quelques minutes
chan79 a écrit:De la même façon, tu as:
AP²+BP²+AB²=3OP²+3PM²+3MN²-NO²
stocke a écrit:Je n'arrive pas à retrouver la démonstration pour cette dernière formule.
Si c'est la même démarche, peux-tu m'indiquer dans quel(s) triangles tu appliques le théorème de la médiane ?
Pour la dernière démonstration, on utilisait chaque fois TN car on connaissait le milieu O. Là je n'arrive pas à trouver de triangles faisant intervenir les 3 longueurs qui m'intéressent et un côté dont on connaisse le milieu.
merci d'avance
chan79 a écrit:Soit K le milieu de [BP].
PO²+PM²=
OA²+OM²=
AO²+AM²=
AP²+AB²=
Ensuite, tu pars de la dernière égalité et tu remplaces
stocke a écrit:C'est bon je retrouve bien le résultat. Merci beaucoup !
juste une dernière question : pour le choix des triangles et des côtés sur lesquels il faut appliquer le théorème de la médiane, tu les as choisis selon une méthodologie précise ? Ou bien c'était de l'intuition ?
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