Question sur les nombres complexes

[stocke]

Bonjour,
je voudrais juste savoir si lorsque deux complexes Z1 et Z2 ont leurs carrés égaux :
Z1²=Z2²
cela implique que leurs modules sont égaux aussi ?

Après des petits tests ça a l'air d'être vrai, mais je n'arrive pas à le prouver mathématiquement.
J'ai essayé la méthode suivante :
Z1=a1+i*b1 et Z2=a2+i*b2
si leurs carrés sont égaux alors :
a1²-b1² = a2²-b2² (1)
et
a1*b1=a2*b2 (2)

si leurs modules sont égaux, alors :
a1²+b1² = a2²+b2² (3)

j'ai essayé de partir de (1) et (2) pour retrouver (3), mais je n'arrive pas à retomber sur la bonne expressions
J'ai essayé aussi de voir si c'était faux en cherchant des contre exemples, mais je n'en ai pas trouver

merci de votre aide

[arnaud32]

passe en notation module argument

[mathelot]

[arnaud32]

sinon

[chan79]

Bonjour,
je voudrais juste savoir si lorsque deux complexes Z1 et Z2 ont leurs carrés égaux :
Z1²=Z2²
cela implique que leurs modules sont égaux aussi ?

Après des petits tests ça a l'air d'être vrai, mais je n'arrive pas à le prouver mathématiquement.
J'ai essayé la méthode suivante :
Z1=a1+i*b1 et Z2=a2+i*b2
si leurs carrés sont égaux alors :
a1²-b1² = a2²-b2² (1)
et
a1*b1=a2*b2 (2)

si leurs modules sont égaux, alors :
a1²+b1² = a2²+b2² (3)

j'ai essayé de partir de (1) et (2) pour retrouver (3), mais je n'arrive pas à retomber sur la bonne expressions
J'ai essayé aussi de voir si c'était faux en cherchant des contre exemples, mais je n'en ai pas trouver

merci de votre aide

salut
on suppose
a1²-b1² = a2²-b2² (1)
et
a1*b1=a2*b2 (2)
on élève (1) au carré
a1;)-2a1²b1²+b1;)=a2;)-2a2²b2²+b2;)
d'après (2) en ajoutant 4a1*b1 ou 4a2*b2 de chaque côté
a1;)+2a1²b1²+b1;)=a2;)+2a2²b2²+b2;)
soit
(a1²+b1²)²=(a2²+b2²)²
on peut en déduire
a1²+b1²=a2²+b2²
mais c'est bien-sûr plus simple d'écrire
si z²=z'² alors |z²|=|z'²| et donc |z|²=|z'|² puis |z|=|z'|

[emdro]

Bonjour,

on peut aussi dire : ou .

[Robic]

S'il faut détailler :
et on continue le raisonnement d'emdro. Comme ça on a placé une identité remarquable en prime...

[zygomatique]

salut

la réponse est triviale lorsqu'on sait que ....

[stocke]

salut
on suppose
a1²-b1² = a2²-b2² (1)
et
a1*b1=a2*b2 (2)
on élève (1) au carré
a1;)-2a1²b1²+b1;)=a2;)-2a2²b2²+b2;)
d'après (2) en ajoutant 4a1*b1 ou 4a2*b2 de chaque côté
a1;)+2a1²b1²+b1;)=a2;)+2a2²b2²+b2;)
soit
(a1²+b1²)²=(a2²+b2²)²
on peut en déduire
a1²+b1²=a2²+b2²
mais c'est bien-sûr plus simple d'écrire
si z²=z'² alors |z²|=|z'²| et donc |z|²=|z'|² puis |z|=|z'|

merci pour la démo, je n'avais pas penser à passer par les carrés

[mathelot]

merci pour la démo, je n'avais pas penser à passer par les carrés

autre démo


on conjugue

on multiplie les deux égalité ensemble





comme est injective sur