Terminale - Complexe equation 2nd degré

par **loustak** » 13 Fév 2015, 08:33

Bonjour,
Je suis en Terminal STI et on ma donner pour devoir un DM. Cependant je bloque à la première question :mur: .
Voici l'énoncé :
On considère l'équation z²-4z+13 = 0 ou z est un nombre complexe.
Première question : Calculer sont discriminent. Cette équation à t'elle des solutions réelles ?
Alors j'ai calculer Delta à la main puis vérifier à la calculette avec cette formule :
b² - 4.a.c J'optiens : (-4z)² - (4 * (z)² * 13) ce qui me donne delta = 36.
Vu que delta est positif l'équation à deux solutions réels et pas de solutions complexes, non ?
Seulement les questions suivantes sont :
Vérifier pour tout nombre complexe z : z² - 4z + 13 = (z - 2 + 3i)(z - 2 - 3i)
En déduire que l'équation proposée à deux solutions complexes conjuguées que l'on déterminera.

J'en déduit que à la première question j'aurais du trouvé un Delta négatif non ?
Merci de votre aide :)

par **chan79** » 13 Fév 2015, 08:36

salut
z²-4z+13 = 0 soit
1z²-4z+13 = 0
a=1
b=-4
c=13
b²-4ac= ...

par **mathelot** » 13 Fév 2015, 08:51

quand on a une équation

il faut bien distinguer l'inconnue z et les coefficients de l'équation a,b,c qui peuvent être
réels ou complexes.

Le

est calculé uniquement avec les coefficients.

pour ton équation , a=1 b=-4 c= 13

donc

par **mathelot** » 13 Fév 2015, 08:57

loustak a écrit:On considère l'équation z²-4z+14 = 0 ou z est un nombre complexe.

le coefficient du terme constant est 13 et non pas 14, semble-t-il.

par **loustak** » 13 Fév 2015, 08:59

Merci j'ai compris mon erreur stupide :dodo:
Du coup je trouve de mon côté aussi -36 pour delta, par contre pourquoi (et comment) tu met après sous la forme (6i)², est-ce important pour la suite des calculs ?

Encore merci de votre aide.

par **Robic** » 13 Fév 2015, 09:32

Dire que -36 = (6i)² est utile pour trouver les racines complexes par la méthode générale, mais celle-ci n'est pas au programme du lycée, donc ne l'utilise pas, dis juste que Delta = -36.

En général, on cherche les racines complexes et on en déduit la factorisation. Mais comme la recherche des racines complexes n'est pas au programme, ici on te donne la factorisation (la question suivante) et tu dois en déduire les racines complexes. Cette fois c'est faisable en terminale.

par **zygomatique** » 13 Fév 2015, 10:01

salut

Alors j'ai calculer Delta à la main puis vérifier à la calculette avec cette formule :
b² - 4.a.c J'optiens : (-4z)² - (4 * (z)² * 13) ce qui me donne delta = 36.

c'est dommage ça commençait bien (ce qui est en gras) malheureusement ça se termine en queue de poisson en appliquant bêtement une formule sans réfléchir ....

d'autre part depuis le collège ::

et ensuite depuis la term ::

....

par **Robic** » 13 Fév 2015, 12:51

Le calcul

, qui n'a jamais été au programme du collège, ou alors il y a très longtemps (à mon époque, au siècle dernier, on le voyait en seconde), ne sert pas dans ce problème. Je pense qu'il faut laisser Loustak suivre l'énoncé plutôt que de l'embrouiller.

par **mathelot** » 13 Fév 2015, 13:15

l'énoncé , c'est de faire le lien entre

et deux racines de l'équation non réelles conjuguées.

par **Robic** » 13 Fév 2015, 13:58

L'énoncé, c'était : « Première question : Calculer son discriminant. Cette équation a-t-elle des solutions réelles ? » On ne demande pas de parler de solutions complexes conjuguées. Loustak a répondu en trouvant -36 : pas de solutions réelles.

Ensuite : « Vérifier pour tout nombre complexe z : z² - 4z + 13 = (z - 2 + 3i)(z - 2 - 3i) ». Pour ça il suffit de calculer le produit. Enfin : « En déduire que l'équation proposée a deux solutions complexes conjuguées que l'on déterminera. » Là il faut utiliser l'égalité pour exhiber les deux solutions conjuguées.

par **mathelot** » 13 Fév 2015, 16:49

ce qu'on devrait faire, pour les cas de solutions réelles,en cours,
c'est poser

et écrire

ce qui aplanit les difficultés pour le cas

par **Robic** » 13 Fév 2015, 17:48

(Hors-sujet)

Ah, ça oui !

Quand je résous une équation du 2nd degré sur les réels, j'aime bien écrire quelque chose comme :

.

Et je trouve que ce serait utile de parler des racines carrées de Delta : Delta admet deux racines carrées, 3 et -3, donc il y a deux solutions, etc. Le cas général complexe serait alors similaire. (Bien sûr il faudrait bien distinguer « les » racines carrées de « la » racine carrée, laquelle ne serait alors plus très utile, ce qui ne me dérange pas.)

par **zygomatique** » 13 Fév 2015, 19:48

Robic a écrit:(Hors-sujet)

Ah, ça oui !

Quand je résous une équation du 2nd degré sur les réels, j'aime bien écrire quelque chose comme : .

Et je trouve que ce serait utile de parler des racines carrées de Delta : Delta admet deux racines carrées, 3 et -3, donc il y a deux solutions, etc. Le cas général complexe serait alors similaire. (Bien sûr il faudrait bien distinguer « les » racines carrées de « la » racine carrée, laquelle ne serait alors plus très utile, ce qui ne me dérange pas.)

insister sur le fait que pour tout nombre positif il existe deux nombres opposés dont le carré est ce nombre je suis bien d'accord .... mais/car malheureusement même en TS pour beaucoup

(*)

il est d'autre part évident qu'un travailleur manuel (comme moi) n'écrit jamais

et n'utilisera que très très occasionnellement le discriminant et préfèrera toujours utiliser sa cervelle plutôt qu'une formule et une calculatrice ... surtout quand on ne sait pas ce qu'on fait ... les automates font cela ... mais ne sont pas des hommes ....

mais pour faire prendre conscience à un automate que prendre 3 ou -3 lorsque d = 9 c'est la même chose .... bof vu (*)

l'homme possède tant de richesse ... et on le bride ... par des appendices qui lui font plus de tord qu'autre chose ... quelle tristesse .... :cry:

:lol3:

par **tabul** » 14 Fév 2015, 15:34

loustak a écrit:Bonjour,
Je suis en Terminal STI et on ma donner pour devoir un DM. Cependant je bloque à la première question :mur: .
Voici l'énoncé :
On considère l'équation z²-4z+13 = 0 ou z est un nombre complexe.
Première question : Calculer sont discriminent. Cette équation à t'elle des solutions réelles ?
Alors j'ai calculer Delta à la main puis vérifier à la calculette avec cette formule :
b² - 4.a.c J'optiens : (-4z)² - (4 * (z)² * 13) ce qui me donne delta = 36.
Vu que delta est positif l'équation à deux solutions réels et pas de solutions complexes, non ?
Seulement les questions suivantes sont :
Vérifier pour tout nombre complexe z : z² - 4z + 13 = (z - 2 + 3i)(z - 2 - 3i)
En déduire que l'équation proposée à deux solutions complexes conjuguées que l'on déterminera.

J'en déduit que à la première question j'aurais du trouvé un Delta négatif non ?
Merci de votre aide

Fais attention, un nombre z est dit complexe s'il s'écrit sous la forme z=a+ib avec a et b des réels.
Dans ton équation, tu confonds z et i. i est un nombre complexe particulier (a=0 et b=1) alors que l'énoncé te dit "z est un nombre complexe" donc quelconque (de la forme a+ib ou a et b peuvent valoir "n'importe quoi" tant qu'ils restent des réels.)

par **mathelot** » 14 Fév 2015, 18:24

tabul a écrit:Fais attention, un nombre z est dit complexe s'il s'écrit sous la forme z=a+ib avec a et b des réels.
Dans ton équation, tu confonds z et i. i est un nombre complexe particulier (a=0 et b=1) alors que l'énoncé te dit "z est un nombre complexe" donc quelconque (de la forme a+ib ou a et b peuvent valoir "n'importe quoi" tant qu'ils restent des réels.)

l'énoncé est il mal conçu car il ne fait pas le lien explicite
entre

et les racines complexes non réelles de l'équation "produit nul"

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