Distance d'un point à une partie

[mounch1810]

Bonjour,

Nous sommes dans . A est un cercle de centre 0 et de rayon 1.
Je cherche à déterminer les ensembles suivants:





Je dois également trouver l'intérieur et la frontière de chacun d'eux.
Le problème est que je ne parviens pas à écrire concrètement les ensembles.
Je sais que c'est le rayon de la plus grande boule ouverte de rayon x ne rencontrant pas le cercle, mais je ne sais pas l'écrire.
Quelqu'un pourrait il m'aider?

[BiancoAngelo]

Bonjour,

Nous sommes dans . A est un cercle de centre 0 et de rayon 1.
Je cherche à déterminer les ensembles suivants:





Je dois également trouver l'intérieur et la frontière de chacun d'eux.
Le problème est que je ne parviens pas à écrire concrètement les ensembles.
Je sais que c'est le rayon de la plus grande boule ouverte de rayon x ne rencontrant pas le cercle, mais je ne sais pas l'écrire.
Quelqu'un pourrait il m'aider?

Il n'y a pas une définition explicite à "ta" distance d'un point à une partie ?

[mounch1810]

Il n'y a pas une définition explicite à "ta" distance d'un point à une partie ?

Si pardon,

[BiancoAngelo]

Pour la première, ça a l'air assez simple (sans avoir écrit les calculs).

Si on prend la boule fermée de rayon 3, ça me semble pas mal.

Mais je me demande si tu considères la norme classique euclidienne ou si c'est une norme quelconque ?

[BiancoAngelo]

Pour la deuxième :

[mounch1810]

Il s'agit de la norme euclidienne.
Par contre, comment écrire les calculs?
???

[BiancoAngelo]

L'idée est de trouver intuitivement les frontières.
Le plus court chemin (je ne vais pas chipoter avec "min" ou "inf") d'un point à un cercle est trouvé avec la droite qui passe par ce point et le centre du cercle.

Une fois ça vu, ça paraît "trop évident".

Donc c'est pour ça que je demande si la norme est quelconque.

[mounch1810]

wow, jolie!!!

[BiancoAngelo]

wow, jolie!!!

Je pense que je commencerais par démontrer correctement que la distance d'un point M d'un cercle de centre O de rayon R au cercle A est égale à .

Ca s'explique assez bien avec ce que je viens de dire avant.

Puis après, les ensembles deviennent l'union de tous les cercles...

[mounch1810]

Trop fort, merci beaucoup!!!

[zygomatique]

salut

je sais pas mais tout simplement :

si x vérifie d(x, A) =< 2 alors ça signifie simplement qu'il existe un point a de A tel que d(x, a) =< 2

et on sait que d(x, a) = d(a, x) ...

donc la solution est triviale ....

donc on prend une pièce de 2 € on place son centre sur le cercle A et on fait glisser le centre sur tout le cercle et on regarde la surface recouverte ....


pour le deuxième cas avec 1/2 on prend une pièce de 1 cent .... :ptdr:

[mounch1810]

salut

je sais pas mais tout simplement :

si x vérifie d(x, A) =< 2 alors ça signifie simplement qu'il existe un point a de A tel que d(x, a) =< 2

et on sait que d(x, a) = d(a, x) ...

donc la solution est triviale ....

donc on prend une pièce de 2 € on place son centre sur le cercle A et on fait glisser le centre sur tout le cercle et on regarde la surface recouverte ....


pour le deuxième cas avec 1/2 on prend une pièce de 1 cent .... :ptdr:

Oui, sauf que d(x,a)= inf||x-a|| pour a élement de A
Par contre on voit bien dans le cas d(x,A)< 1/2 que l'ensemble cherché est la boule ouverte de centre 0 et de rayon 3/2 privé de la boule ouverte de centre 0 et de rayon 1/2.
Le plus difficile est d'y aboutir par le calcul.
Et pour le deuxième cas c'est la boule fermée de centre 0 et de rayon 3.

[zygomatique]

ça ne change strictement rien !!!!

puisque et surtout que les ensembles sont définis par des inégalités !!!! et que l'inf vérifie qu'il est (le) plus petit que tous !!

et par définition d(x, A) = h => il existe y dans A (ou son adhérence) tel que d(x, y) = h

il n'y a aucun calcul à effectuer ...

par contre on peut se rappeler que d(x, A) = d(A, x) !!!

....

[mounch1810]

ça ne change strictement rien !!!!

puisque et surtout que les ensembles sont définis par des inégalités !!!! et que l'inf vérifie qu'il est (le) plus petit que tous !!

et par définition d(x, A) = h => il existe y dans A (ou son adhérence) tel que d(x, y) = h

il n'y a aucun calcul à effectuer ...

par contre on peut se rappeler que d(x, A) = d(A, x) !!!

....

Ok, merci beaucoup pour ces précisions

[mounch1810]

Ok, merci beaucoup pour ces précisions

Bon, je nage et je ne parviens pas à démontrer

[BiancoAngelo]

Salut, si on veut une démo rapide avec la norme classique, je me suis dit :

Je me place avec les complexes.

Prenons un cercle de rayon R et un autre de rayon r, strictement positifs, centrés en O.

Soit x et x' deux points respectivement sur ces cercles.

On a donc :


avec
en utilisant et en réduisant.

Pour avoir le minimum, on a nécessairement autrement dit (comme attendu...).

On a alors en factorisant sous la racine.

Voilà, après, on le fait en polaire, c'est pareil...
C'est juste que je l'ai écrit avec les complexes.

[mounch1810]

Salut, si on veut une démo rapide avec la norme classique, je me suis dit :

Je me place avec les complexes.

Prenons un cercle de rayon R et un autre de rayon r, strictement positifs, centrés en O.

Soit x et x' deux points respectivement sur ces cercles.

On a donc :


avec
en utilisant et en réduisant.

Pour avoir le minimum, on a nécessairement autrement dit (comme attendu...).

On a alors en factorisant sous la racine.

Voilà, après, on le fait en polaire, c'est pareil...
C'est juste que je l'ai écrit avec les complexes.

Merci, jolie la démo.