[TS] DUR : Equation fonctionelle, Démonstration

[Walter White]

Bonsoir,

J'ai deux activités à faire l'une à la suite de l'autre, sur l'équation fonctionnelle et sur le logarithme décimal (l'un et l'autre n'ont jamais été vus, c'est la toute première fois qu'on est face à ça)



Je trouve ça assez dur, comme vous le voyez j'ai essayé de faire une partie (je sais pas si c'est juste, je l'ai fait tout à l'heure pendant une heure de pause)

En revanche, je suis complètement bloqué au 2) c), avez-vous une idée, une piste pour que je puisse un peu comprendre le raisonnement ?

Merci d'avance aux répondeurs, bonne soirée à tous.

[Shew]

Bonsoir,

J'ai deux activités à faire l'une à la suite de l'autre, sur l'équation fonctionnelle et sur le logarithme décimal (l'un et l'autre n'ont jamais été vus, c'est la toute première fois qu'on est face à ça)



Je trouve ça assez dur, comme vous le voyez j'ai essayé de faire une partie (je sais pas si c'est juste, je l'ai fait tout à l'heure pendant une heure de pause)

En revanche, je suis complètement bloqué au 2) c), avez-vous une idée, une piste pour que je puisse un peu comprendre le raisonnement ?

Merci d'avance aux répondeurs, bonne soirée à tous.

On aurait plutot x*y = 1

[Rizmoth]

Bonsoir,

OK pour la 1. et la 2.a . Mais effectivement, il faut revoir la 2.b et la 2.c . En fait, tu es allé un peu trop loin (bien que ton raisonnement soit juste) à la 2.b.

2.b. Dérives g sans t'occuper du résultat de la 2.a (dans un premier temps).

g(x) = f(xy) - f(x).

Il faut bien remarquer que la fonction x-> f(xy), en elle-même, c'est une fonction composée de la forme f°u, avec u(x) = yx. Ainsi, si on la dérive, en appliquant la formule classique (f°u)' = u'*f'°u, on obtient : y*f'(xy).

De là : g'(x) = y*f'(xy) - f'(x).

2.c. C'est le moment maintenant d'utiliser le résultat de la 2.a et sa conséquence directe : pour tout x, g'(x) = 0.

Ainsi y*f'(xy) - f'(x) = 0 et donc f'(xy) = f'(x) / y

Dès lors, si on pose k = f'(1), et en appliquant la formule précédente pour x = 1, on obtient :
f'(xy) = f'(1*y) = f'(y) = f'(1)/ y = k/y

[Walter White]

Bonsoir,

OK pour la 1. et la 2.a . Mais effectivement, il faut revoir la 2.b et la 2.c . En fait, tu es allé un peu trop loin (bien que ton raisonnement soit juste) à la 2.b.

2.b. Dérives g sans t'occuper du résultat de la 2.a (dans un premier temps).

g(x) = f(xy) - f(x).

Il faut bien remarquer que la fonction x-> f(xy), en elle-même, c'est une fonction composée de la forme f°u, avec u(x) = yx. Ainsi, si on la dérive, en appliquant la formule classique (f°u)' = u'*f'°u, on obtient : y*f'(xy).

De là : g'(x) = y*f'(xy) - f'(x).

2.c. C'est le moment maintenant d'utiliser le résultat de la 2.a et sa conséquence directe : pour tout x, g'(x) = 0.

Ainsi y*f'(xy) - f'(x) = 0 et donc f'(xy) = f'(x) / y

Dès lors, si on pose k = f'(1), et en appliquant la formule précédente pour x = 1, on obtient :
f'(xy) = f'(1*y) = f'(y) = f'(1)/ y = k/y

Entendu ! J'ai tout compris pour cette partie, excepté «f'(y) = f'(1)/ y = k/y» !
Pour la 3)a) je procède de la même manière ?

[Rizmoth]

D'accord, je reprends donc la fin.

On pose x = 1.
Donc f'(xy) = f'(1 * y) = f'(y)
Par ailleurs, f'(x) / y = f'(1) / y
Or, f'(1) = k.
Donc f'(x) /y = k / y .

Ainsi, comme f'(xy) = f'(x)/y, on obtient : f'(y) = k/y.

Pour la 3.a, la dérivation est "toute simple", tu n'as qu'à dériver terme à terme, en pensant que (ln(x))' = 1/x

h'(x) = f'(x) - k/x

Là, tu utilises la 2.c, qui te dit qu'en fait, k/x = f'(x).

Ainsi, h'(x) = f'(x) - f'(x), donc h'(x) = 0. Du coup, que peux-tu dire de h ?

Et comment peux-tu trouver une valeur particulière de h, te permettant de conclure sur la dernière question ?

[Walter White]

on obtient : f'(y) = k/y.

pas trop compris ça...

Comment ça se fait qu'on peut trouver f'(y) comme ça avec f'(xy) ?!

Sinon pour la 3 j'ai essayé de regarder mais je vois pas, peut-être

[Walter White]

Là, tu utilises la 2.c, qui te dit qu'en fait, k/x = f'(x).

Je vois pas ou et comment la 2.c dit ça, elle dit que f'(y)=5/y, mais on peut remplacer par x si on veut, comme ça ?!

Sûrement oui, ça reste deux variables...

Du coup, que peux-tu dire de h ?

la fonction h est constante ? La même pour tout x donc ?

Pour la 3)b) j'aurais bien aimé me servir de la relation f'(x)=(klnx)' mais il s'agit de la dérivée, donc je vois pas comment m'en servir dans la fonction initiale... Je peux dire que h'(x)=0 et que donc h est constante, mais après...

[Rizmoth]

Je reprends à nouveau ce point de la 2.C qui n'est pas clair :

On sait que f'(xy) = f'(x)/y (1). Cela est VRAI pour tout x et pour tout y.

Dans le cas présent, on choisit de poser x = 1. De son côté, y reste une variable (sa valeur est quelconque)

D'UNE PART : f'(xy) = f'(1 * y) = f'(y) (2)

D'AUTRE PART : f'(x) / y = f'(1) / y
Or, f'(1) = k.
Donc f'(x) /y = k / y (3)

Donc, avec (1), dans lequel on injecte (2) et (3), on obtient : f'(y) = k/y.

C'est plus clair ?

Je vois pas ou et comment la 2.c dit ça, elle dit que f'(y)=5/y, mais on peut remplacer par x si on veut, comme ça ?!

Sûrement oui, ça reste deux variables...

Exactement ! On peut donner à une variable le nom qu'on veut. Il faut bien avoir en tête l'idée que : si je dis que pour tout x, f(x) = 2x, je peux aussi dire que pour tout y, f(y) = 2y.
Et même que pour toute patate bouillie, f(patate bouillie) = 2 patate bouillie

la fonction h est constante ? La même pour tout x donc ?

Exactement ! (bis)

Du coup, tu as bien compris que si tu trouves une valeur particulière prise par h en un point, tu as trouvé la valeur prise par h en tout point.

Par exemple, si h(1) = 14, alors pour tout x, on aura h(x) = 14. Ok ?

Dans notre cas, h(1) = f(1) - kln(1), donc h(1) = f(1) = 0 (d'après la question 1.

Donc : pour tout x, h(x) = 0.

Ainsi f(x) - kln(x) = 0.

Conclusion : f(x) = kln(x).

[Walter White]

Je reprends à nouveau ce point de la 2.C qui n'est pas clair :

On sait que f'(xy) = f'(x)/y (1). Cela est VRAI pour tout x et pour tout y.

Dans le cas présent, on choisit de poser x = 1. De son côté, y reste une variable (sa valeur est quelconque)

D'UNE PART : f'(xy) = f'(1 * y) = f'(y) (2)

D'AUTRE PART : f'(x) / y = f'(1) / y
Or, f'(1) = k.
Donc f'(x) /y = k / y (3)

Donc, avec (1), dans lequel on injecte (2) et (3), on obtient : f'(y) = k/y.

C'est plus clair ?



Exactement ! On peut donner à une variable le nom qu'on veut. Il faut bien avoir en tête l'idée que : si je dis que pour tout x, f(x) = 2x, je peux aussi dire que pour tout y, f(y) = 2y.
Et même que pour toute patate bouillie, f(patate bouillie) = 2 patate bouillie




Exactement ! (bis)

Du coup, tu as bien compris que si tu trouves une valeur particulière prise par h en un point, tu as trouvé la valeur prise par h en tout point.

Par exemple, si h(1) = 14, alors pour tout x, on aura h(x) = 14. Ok ?

Dans notre cas, h(1) = f(1) - kln(1), donc h(1) = f(1) = 0 (d'après la question 1.

Donc : pour tout x, h(x) = 0.

Ainsi f(x) - kln(x) = 0.

Conclusion : f(x) = kln(x).

Effectivement, le point de la 2.C es parfaitement clair, ainsi que la suite ! Merci beaucoup !

[Walter White]

Effectivement, le point de la 2.c ainsi que la suite sont limpides, je pense avoir compris même si il va me falloir le relire beaucoup pour que le raisonnement devienne plus simple ! (merci beaucoup)

Concernant le logarithme décimal, j'ai posé k=1/(ln10), et log(x)=klnx

[Rizmoth]

Pas de quoi ! :)

Concernant le logarithme décimal, ce que tu écris est juste. Mais la réalisation de l'exercice 2 peut se faire sans les résultats du premier.