paquito a écrit:Je pense qu'il faut partir d'une fonction définie suret continue par morceau i.e. f admet un nombre de points de discontinuité fini et simples réel etréel . sinon, si on part de je ne sais pas ce qui peut se passer! quand à une fonction dont le nombre de point de discontinuité est dénombrable comme sur si est irrationnel et ,si est rationnel et admet comme écriture irréductible . est un point fixe; et après?
Sinon, si je supposecompact,, qu'estqu'on obtient?
posons
Déjà, g continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes; soit sa borne inférieure et supposons ; soitun élément de tel que ; définissons la suite telle que ; on a vite et même , sinon on a une contradiction; ou pour tout n conduit à une nouvelle contradiction car est borné; on doit donc avoir pour un entier et ; donc la fonction continue prenant des valeurs et <0 s'annule et donc admet un point fixe et n'est pas la borne inf.
Suite très bientôt!
paquito a écrit:Bonjour,
On a donc une fonction discontinue et qui admet une infinité de points fixes et qui converge tout le temps; tu as raison, c'est le cas d'une fonction admettant un nombre fini de points de discontinuité et aucun point fixe même limite qui va être intéressant; on peut se placer sur et faire des dessins; je pense qu'faut exclure le cas où toute la courbe est d'un côté de y=x, puis montrer qu'on passera forcément d'un côté dans l'autre; on peut commencer par une courbe en 2 morceaux pour voir, mais je suis persuadé que ton théorème est vrai.
En ce qui me concerne, je voulais voir ce que devenait le théorème du point fixe si l'on prenait la condition moins restrictive , mais compact;
j'ai pu montrer que f admettait au moins un point fixe , mais je n'ai ni l'unicité du point fixe, ni la convergence de.
Exemples; sur , si , , si et , si ; j'ai une une infinité de points fixes et ça converge tout le temps; ou alors:
sur , , si ; , si et , si ; là j'ai un point fixe unique, ; pour et la suite converge vers ; sinon je n'ai que des cas du type ; etc...
Donc, je n'ai que l'existence d'un point fixe, pas son unicité même si un point fixe isolé entraîne son unicité et surtout, je ne peux rien affirmer sur la convergence;
conclusion: ça peut faire un exo, c'est tout.
BiancoAngelo a écrit:Bonjour paquito,
Merci de ton exemple.
Je crois je n'aurais pas du lancer cette histoire...
Encore une fois, l'exemple que tu fournis, même s'il n'y a pas de point fixe au sens pur, est un point fixe dans une définition personnelle que j'ai mise au dessus...
Il serait bien d'écarter ces cas où la discontinuité est "comme par hasard" au niveau de la limite.
Apparemment, vue la difficulté à trouver des exemples parlants (ou même un seul), je pense que ça illustre plutôt bien le fait qu la convergence de la suite et l'hypothèse de la continuité sont "hyper" liées.
Si je repose ma question ainsi (ultime tentative, après, de toute façon, ça reste ma vision de la chose...) :
Soit I un intervalle de R.
Soit f une fonction de I dans I (non nécessairement continue !).
Soit u une suite définie par le premier terme dans I et par récurrence avec f (comme formulé dans ce fil).
On suppose que cette suite converge.
Alors la limite de cette suite, qu'on peut noter L, est soit la limite à gauche soit la limite à droite de f en L (correspondance au point fixe "retravaillé").
C'est dans cette optique qu'il est intéressant de travailler je trouve. Car la notion de point fixe (pur) est trop restrictive.
Maintenant, ce que j'ai écrit en rouge, peut peut-être être invalidé par un contre-exemple...
C'est la question en tant que tel.
Et même si personne ne donne de contre exemples, ce n'est pas grave...
Mon but était d'illustrer ce cas un peu plus intéressant... je trouve.
chombier a écrit:La fonction de Dirichlt est un bon contre exemple :
Elle est definie sur [0 ; 1] par :
f(x) = 0 si x est rationnel
f(x) = 1 si x est irrationnel
Elle converge vers 1 quel que soit u0 et n'est continué no à droite, ni à gauche en 1
BiancoAngelo a écrit:Donc la conjecture devient (merci quand même d'avoir mis ce cas, je peux rectifier l'écriture) :
Soit I un intervalle de R.
Soit f une fonction de I dans I (non nécessairement continue !).
Soit u une suite définie par le premier terme dans I et par récurrence avec f (comme formulé dans ce fil).
On suppose que cette suite converge.
Alors la limite de cette suite, qu'on peut noter L, est soit la limite à gauche soit la limite à droite de f en L, soit un point fixe de f.
BiancoAngelo a écrit:
Soit I un intervalle de R.
Soit f une fonction de I dans I (non nécessairement continue !).
Soit u une suite définie par le premier terme dans I et par récurrence avec f (comme formulé dans ce fil).
On suppose que cette suite converge vers L.
On pourra dire cependant que pour toute limite L d'une telle suite, le point (L,L) est point d'adhérence du graphe de f.
Doraki a écrit:une suite périodique, ça a un comportement relativement chaotique ?
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